配分額：17940000円 （ 直接経費：13800000円 、 間接経費：4140000円 ）

混合版SL(2)-軌道の空間と対数的混合ホッジ構造の良モジュライを構成した。後者の幾何への応用として構成したネロンモデルの複数の切断の共通部分の解析性を証明した。任意に与えられた許容ノーマル関数を受け止めるネロンモデルを構成した。これらの物理への応用として、３次元５次超曲面の閉および開ミラー対称性の記述をした。以上は全て出版された。
混合版として新たに出てくる比構造付羃零i軌道の空間、星付混合版SL(2)-軌道の空間を補って、純重みのときの基本図式を増強し、周期写像やノーマル関数の様々な極限を比較することができる混合版の基本図式を完成させた（投稿中）。

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配分額：2210000円 （ 直接経費：1700000円 、 間接経費：510000円 ）

2次元正規特異点に対して，その極小解消空間における標準サイクルの自己交点数と幾何種数の間に成り立つ不等式を研究した．代数曲線束に対するスロープ不等式を念頭に置けば，期待される不等式における幾何種数の係数は，基本種数の関数として表示されなければならない．研究期間においては，2重点や巡回的3重点に対して標準特異点解消を用いてほぼ満足すべき形でスロープ不等式を示すことができた．これらは特殊な特異点に対する成果ではあるが，対応するダーフィー予想の再証明を導くなどの応用を持つ．

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配分額：12480000円 （ 直接経費：9600000円 、 間接経費：2880000円 ）

複素力学系及び双有理幾何学の融合により, 双方の未解決問題に貢献すること, 関係する新しい現象の発見が本研究の主目的である. 成果として, 正のエントロピーをもちかつ原始的正則自己同型を許容する3次元有理多様体, カラビ・ヤウ多様体の存在問題の肯定的解決, Wehler型と呼ばれる任意次元のカラビ・ヤウ多様体に対するKawamata-Morrison錐予想の完全解決, Ueno-Campaana問題の肯定的解決, Gizatullin問題の否定的解決, 正標数の代数幾何への複素力学系の応用などを得た. また, 成果が高く評価され, 2014年の国際数学者会議の招待講演者に選定された.

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配分額：4420000円 （ 直接経費：3400000円 、 間接経費：1020000円 ）

代数曲線族の退化ファイバー芽の局所符号数を、次の意味の「モジュライ項」と「モノドロミー項」の和として表す新しい定式化を得た。前者は安定曲線のモジュライ空間上に符号数因子なるものを定義しておき、それをモジュライ写像で引き戻して定義される(吉川謙一氏との共同研究)。後者は局所符号不足数と名付けた量で、位相モノドロミー情報を安定還元族への群作用に翻訳しつつ、オービフォールド符号数定理を適応して得られる。

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配分額：4420000円 （ 直接経費：3400000円 、 間接経費：1020000円 ）

アーベル曲面がガロワ埋め込みをもつとき,その埋め込まれる射影空間の最小の次元が7であることを解明し,さらにそのようなアーベル曲面の構造は楕円曲線の直積であることも証明した。また,特異点をもつ平面曲線で種数が1のものについて,ガロワ点をもつ場合のガロワ群の決定をした。空間楕円曲線については,常にガロワ直線があり,それらの配置は四面体の6本の直線であり,ガロワ群はクラインの4元群であることも判明した。

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配分額：14820000円 （ 直接経費：11400000円 、 間接経費：3420000円 ）

混合版多変数SL (2)軌道定理を証明した。混合版ボレル・セールコンパクト化、混合版SL (2)-軌道の空間、混合対数的ホッジ構造の分類空間を構成し、これらの成す基本図式を得た。これにより混合版の対数的ホッジ構造の基礎理論がほぼできあがった。以上の結果とホッジ予想や鏡対称性などとの関連も注目されるようになってきた。

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配分額：4420000円 （ 直接経費：3400000円 、 間接経費：1020000円 ）

K3曲面Sがガロワ埋め込みをもつとき、そのガロワ群Gが巡回群のとき、すべて決定した。それらは4次か6次しかなく、しかもSの構造はそれぞれ4次超曲面か(2,3)-完全交差形のものである。一方(2,3)-完全交差形のものがガロワ直線を持つときは、群Gは6次巡回群か位数6の二面体群である。更に、二面体群のときSは3次超曲面のある点からの射影に対する、最小ガロワ閉包多様体として得られることなど判明した。

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配分額：4160000円 （ 直接経費：3200000円 、 間接経費：960000円 ）

退化代数曲線族の局所符号数を、安定曲線のモジュライ空間上の符号数因子とエータ不変量の群作用に関する変動項をモノドロミー情報に還元することを用いて、明示的に表示する道を開くことができた。また関連する代数曲面上のペンシルや特異点についても、有用な進展があった。

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配分額：9900000円 （ 直接経費：8100000円 、 間接経費：1800000円 ）

最も簡単な双曲曲面である穴あきトーラスを深く調べることにより,一般の曲面に関する理解が深まるという信念に従って研究を行い,次の研究成果を得た.(1)穴あきトーラス擬フックス群に関するJorgensen理論の完全な記述と証明を与え,Lecture Noteとして出版した.(2)擬アノソフモノドロミーを持つ円周上の穴あきトーラス束に付随して自然に得られる「Cannon-Thurston-Dicksフラクタルタイル張り」と「標準的分割が定めるカスプの三角形分割」,の間に密接な関係があることを証明した.また,それをヒントに一般の円周上の穴あき曲面束の標準的分割に関する予想を提案した.(3)2橋結び目の橋球面上の本質的単純閉曲線が結び目補空間で可縮となるための必要十分条件を与えた.

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配分額：12560000円 （ 直接経費：10400000円 、 間接経費：2160000円 ）

非可換統計学における量子情報幾何学的方法の確立をめざし,以下の研究成果をあげた.1)適応的量子推定問題における強一致性および漸近有効性の証明.2)SU(D)の漸近的推定理論の確立とその微分幾何構造の研究.3)ランダムネス基準のαダイバージェンスに基づく新たな定式化.4)量子通信路多様体上のファイバー束の理論とその応用.5)統計力学における情報幾何学的方法の研究.

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配分額：3920000円 （ 直接経費：3500000円 、 間接経費：420000円 ）

(1)Duc Tai Pho氏との共同研究により,標数5における Artin 不変量が3の超特異K3曲面は単有理であることを証明した.これは,「すべての超特異K3曲面は単有理であろう」という Artin-Shioda 予想に対する新しい肯定的証拠である.
(2)複素数体上の代数的K3曲面上にあらわれる正規特異点の組み合わせをすべて分類した.この結果から,十分大きな標数における超特異K3曲面上にあらわれる正規特異点の組み合わせについてもいくつかのことが言える.
(3)数体F上定義された代数多様体Xを考える.基礎体Fを複素数体に埋め込むことによりXから複素多様体が得られるが,その超越格子は一般にFの複素数体への埋め込みに依存する.これらの超越格子について考察し,複素数体の自己同型のもとで共役であるが位相同型とはならない代数多様体の例を多数構成した.特にXが特異K3曲面の場合に,これらの超越格子の集合を,虚2次体の類体論を用いて詳しく調べ,応用として,複素特異K3曲面の定義体の有理数体上の次数に下からの限界を与えた.
(4)数体F上定義された特異K3曲面Xを有限素点Pで還元して超特異K3曲面X(P)が得られるとすると,X(P)のネロン・セヴェリ格子の中でのXのネロン・セヴェリ格子の直交補格子を考えることができる.有限素点Pを動かしたときのこの格子を調べ,超越格子の場合と類似の定理を得た.
(5)グラスマン多様体内の双対多様体の補集合の位相的基本群に対して,Lefschetz型の超平面切断定理を証明し,さらにこの基本群を点付きリーマン面のブレイド群の剰余群として記述する方法を得た.

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配分額：2800000円 （ 直接経費：2800000円 ）

第四回代数曲線論シンポジウムを関して神奈川工科大学の米田二良,山口大学の加藤崇雄,神奈川大学の本間正明および申請者を組織委員として(申請者が組織委員長を勤める)神奈川大学工学部にて2006年12月16日(土)--12月17日(日)の期間で開催した。講演者は遊佐毅(兵庫県立大学)、網谷泰治(早稲田大学)、川口良(大阪大学)、石田隆弘(宇部高専)、千恩珠(慶尚大学)、川崎真澄(海城高校)、深澤知(広島大学・4月から早稲田大学)、坂井宏之(新潟大学)で代数曲線論の環論的な意義やヒルベルトスキームやブリル=ネーター理論についての最新の話題、或いは情報理論など幅広い話があり大変意義深いものとなった。
また申請者は神奈川工科大学の米田二良と共にワイアシュトラス点に関する幾つかの結果を得、また春井岳との共同研究で平面曲線の最少次数モデルの評価式に関する興味深い結果を得ることにも成功した。

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配分額：3100000円 （ 直接経費：3100000円 ）

VがP^2の曲線の時と,Vの|D|による埋め込みの余次元が1のときは,すでに一通りの研究成果はあるので,当該研究では,[1]Vが曲面,特にabelian surfaceのとき,[2]平面曲線だが,特異点を持つ有理曲線のときに研究を行い,更に[3]平面曲線がガロワ点を持つとき,そのガロワ群の元が射影平面の双有理変換に拡張されるかどうかを考察した。その後abelian surfaceの埋め込みの研究を更に深めた[4]。これらの成果の概要は以下の通りである。[1]ではabelian surfaceがガロワ埋め込みをもつとき,そのガロワ群を完全に決定した。その結果とくにガロワ埋め込みを持つabelian surfaceはelliptic curveの直積と同種であることなど判明した。[2]では特異点のある有理曲線について,ガロワ点とそのガロワ群の考察を行った。これまでほとんど非特異の考察のみ行われてきたのであるが,現れる群が巡回群のみでなく,いろいろな群,二面体群,4次,5次の交代群や4次対称群も現れることが判明した。[3]では,非特異曲線がガロワ点をもつとき,その群の元は射影変換に拡張されるが,特異点をもつ曲線のときは射影変換のみならず,双有理変換にすら拡張されないこと,またどのような曲線の場合に拡張されるか究明した。[4]では,abelian surfaceが射影空間P^nに埋め込まれるときの最小のnは4であることは知られているが,ガロワ埋め込みのときの最小値は7であることを明らかにした。これらの研究により体論と幾何学が一層密接になり,新たな見地からの多様体の性質も発見されている。上記研究により一応の方向が示されたが,これからの研究課題は多く今後の発展が期待される。

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配分額：14780000円 （ 直接経費：13700000円 、 間接経費：1080000円 ）

本研究は,非特異射影代数曲面がもつ代数曲線束を代数幾何学的側面と位相幾何学的側面の両面から捉え,それらを総合的に扱うことを目的として遂行された.具体的には,代数曲線束のスロープ,局所符号数(符号数の偏在化),モーデル・ヴェイユ格子の研究が主眼である.得られた数学的研究成果のうち主たるものとして,有理曲面がもつ非超楕円的曲線束のスロープ,クリフォード指数とモーデル・ヴェイユ階数に対する精密な不等式,その不等式の境界に位置する代数曲線束の構造解明,2次元正規特異点や代数曲線束における相対標準一次系の固定部分に対する有理性・楕円性,代数曲線束芽に対するエータ不変量を経由する局所符号数と安定還元芽のもつ同種の符号数との比較公式などが挙げられる.これらをはじめとして,研究期間中には研究代表者や研究分担者によって,合計57編の学術論文が執筆され,121の研究発表が行われるなど,著しい成果が挙げられた.また,2005年にハノイ(ヴェトナム)で開催した国際研究集会「第2回東アジアの代数幾何」を含む,6つの研究集会を主催・共催して当該研究分野の活性化に寄与すると共に,研究集会の報告集を作成・配布することによって研究成果の公表に努めた.報告集のうちひとつは,その重要性を鑑みて単行本として出版している.同時に,国内外で開催される様々な研究集会に研究協力者を派遣,外国人研究者を計6名招聘するなどして研究交流を深め,直接に議論を行った.研究代表者や研究分担者によるこのような活発な研究活動や成果を通して,本研究の目的が十分に達成されたことは明らかである.

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配分額：3300000円 （ 直接経費：3300000円 ）

平成17年度は、テーマである代数曲線族の局所符号数及び関連するHorikawa指数に関して、以下のような進展を見ることができた。
(1)安定族に対しては、前年度、奇数種数最大ゴーナル曲線族に対するKonno-Horikawa指数へのHarris-Mamford公式の応用を見い出していたが、本年度は、偶数種数に対するEisenbud-Harris公式がほぼ同じ応用を持つことがわかった。正確には、少なくとも種数4の場合にはChen-Konno下限からの局所寄与を測る式を得たが、種数6以上についてはEisen-Harris公式そのものをよりsharpにする必要があり、今後の研究に託されている。
(2)非安定族については、前年度までに、安定還元に伴う不変量の変動項をモノドロミー情報のDedekind和を用いて記述していたのであるが、本年度、このDedekind和を完全に明示的に表すことができるようになった。そのため、我々の式を種数に関するinductionが可能な形の非常に簡明なものに書きかえることができた。Dedekindの相互律とMatsumoto-Montesinosの和公式によって証明されるこのDedekind和に関する式は、数論的にも意義があると自負している。

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配分額：14300000円 （ 直接経費：14300000円 ）

加藤和也と臼井との共同研究で、MumfordらのHermite対称領域の離散群による商のトロイダル・コンパクト化を一般化し、Griffiths領域の離散群による商の拡大としてlog Hodge構造の分類空間を構成した。また、Hodge構造の分類空間のBorel-Serreコンパクト化、SL(2)部分コンパクト化なども構成し、これら相互の関係を示す基本図式を構成した。これらの結果は約300ページ程の本としてAnn.Math.Studies, Princeton Univ.Pressから出版予定である。
臼井は、完備扇の存在を仮定して、一般型多様体の分類空間のコンパクト化からlog Hodge構造の分類空間へ周期写像を拡張し、その像が分離的複素代数空間であることを示した。この場合、log Hodge構造の分類空間は裂目を持っているが、周期写像の像はこの裂目と衝突していないことを示している。この結果はJ.Alg.Geom.から出版された。極小モデル理論の最近の発展により、本論文発表時の仮定の一つが不要となった。
Schmid(1973年)が1変数純重みのHodge構造の退化のとき、Cattani-Kaplan-Schmid(1986年)が多変数純重みHodge構造の退化のとき、示していたSL(2)軌道定理を、加藤和也・中山能力・臼井が拡張して、混合Hodge構造の退化のときに証明した。それに伴うHodgeノルムの評価も得た。この結果は現在投稿中である。
朝倉政典と斎藤秀司は、開完全交叉多様体のJacobi環を調べ、十分一般の開完全交叉多様体に対してBeilinson型Hodge予想が成立することを示した。この結果は、Math.Zeit.,Math.Nachr.,London Math.Soc.などから出版された。

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配分額：8700000円 （ 直接経費：8700000円 ）

本研究の目的は,Hilbert空間H上の状態空間S(H)に作用する量子通信路Γ:S(H)→S(H)が,有限次元パラメタにより滑らかにパラメトライズされているという仮定のもとで,非可換統計学および量子情報幾何学の手法を用い,拡大通信路(id 【cross product】Γ)^(【cross product】n)の量子状態空間S(H^(【cross product】2n))への埋め込み方法の最適化,および対応する量子統計的モデルに対する推定量の最適化理論およびその漸近論を研究することにある.本研究で得られた主な研究成果は以下の通りである.
1.一般化Pauli型通信路,一般化amplitude-damping通信路,およびSU(d)通信路等の推定理論:
標記の通信路の族は,いずれも量子情報理論の諸分野において標準的通信路として確立されたスタンダードな通信路のクラスである.本研究では,非可換統計学,量子情報幾何学,群の表現論等の方法に立脚し,さらにコンピュータを併用した実験数学的手法を駆使して,これら通信路に対する最適推定方法を完全に導出すると共に,その背景には,出力状態族のなす多様体の膨張・崩壊現象があることを明らかにした.
2.局所不偏推定量に基づく適応的推定の漸近論:
Holevoにより提唱された局所不偏推定量の概念は,推定すべき真のパラメタ値に依存して定まるため,実用的には意味がないという類いの主張をする研究者もいる.これに対しNagaokaは,最尤推定法と組み合わせた適応的推定の文脈では,十分意味のある推定量となっているであろうという予想を1987年に発表していたが,その証明は未解決であった.本研究では,マーチンゲール理論を用いて,局所不偏推定量に基づく適応的推定が強一致性および漸近有効性を有することを証明した.この結果はNagaokaの予想の肯定的な解決を与えるものである.

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配分額：3100000円 （ 直接経費：3100000円 ）

まず半安定還元に伴う(古田型の)局所符号数の変動項を明示表示するという目標については,Atiyah-Singerの同変符号数定理を応用して達せられた。答は,valency, screw number等のNielsen-松本-Montesinosによるモノドロミー情報からDedekind和を用いて書き下せる。具体的には,京大数理研講究録No.1345中の筆者の解説記事pp.203-237中に示してある。
吉川謙一氏の定義した井草保型形式を経由する局所符号数を,古田幹雄氏のワク組みで理解することもほぼ可能になり主な論点は上の解説記事にも入れた。ただケーラー計量のとり方にもっと精密に議論すべき点があることを吉川氏に指摘されたので,その方面はまだ考察中である。
また吉川氏の局所符号数の半安定還元に伴う変動項も,正則Lefsthetz不動点公式(Atiyah-Botl-Singer-Segal)を応用することにより可能になり,研究集会「Hodge理論・退化・複素曲面の代数幾何とトポロジー」で発表した。
以上の成果を論文にまとめるための準備を,現在進めている。

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配分額：10200000円 （ 直接経費：10200000円 ）

1.研究代表者は増田佳代と協力して,代数的トーラスGmの作用をもつ代数曲面について不分岐自己準同型射を考え,殆どの場合に自己同型射になることを示した.また,有限群の作用をこめた非完備代数曲面の分類を森理論の応用として試み,群作用のない場合とほぼ平行した議論ができ,さらに精密な議論ができることを示した.さらに,代数的に独立な2つの加法群の作用をもつQ-ホモロジー平面の構造について調べ,その普遍被覆がxy=z^<n->1で定義される3次元アフィン空間の超曲面になることを示した.
2.藤木明は,複素射影平面m個の(可微分)連結和mP^2に対し,その上の自己双対計量を考え,さまざまな計量に対し,対応するツイスター空間(3次元複素多様体)の代数次元がとりうる値を考察した.他にも,ツイスター空間と関連事項について数多くの知見を得ている.
3.日比孝之は,有限二部グラフに付随する配置のトーリック・イデアルのグレブナー基底に関して具象的研究を遂行した.その他,計算代数に関連する多くの話題を取り上げ,数多くの知見を得ている.
4.臼井三平は加藤和也と協力して対称空間Γ＼Dのtoroidalコンパクト化を,Dが偏極Hodge構造の分類空間のときに一般化するというGriffithsの夢を実現した.
5.篠原弥一は,2つの離れた円板に,捻れをもったn本の帯を平行に,かつ,それぞれの帯が2つの円板を結ぶようにくっつけてできる2次元多様体の境界として得られるlink(generalized pretzel linkと呼ぶ.)について研究し,そのJones多項式を計算した.

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配分額：3500000円 （ 直接経費：3500000円 ）

n+1次元射影空間Pのd次非特異超曲面をVとし,その関数体をK=k(V)とする。Pの点Pを中心としたVから超平面への射影を考え,この射影が決める体の拡大をK/K_Pとおき,この拡大の代数的構造とVの幾何学的構造の比較研究を行った。この拡大がガロワ拡大のとき,Pをガロワ点という。また,一方拡大K/K_Pのガロワ閉包をL_Pとし,ガロワ群Gal(L_P/K_P)をG_Pとおく。これを点Pでのガロワ群という。このとき,次の問題を中心にして研究を行った:
1.ガロワ点をすべて見つけその分布の法則も見つけること。特にその個数を決定し,最大値を与える多様体の特徴付けも行うこと。またガロワ点でのガロワ群を決定すること。
2.各点Pでのガロワ群G_Pを求めてすべての中間体を決定し,それらを非特異モデルとする多様体を決定すること。
その結果次の成果を得た:Vがd(>3)次の一般的な超曲面ならガロワ点は存在しない。一方、Vを与えたときPが一段的ならG_Pは対称群である。そこで特殊な超曲面に関してガロワ点の存在を研究した。Pがガロワ点ならG_PはPがVの点でないか,そうであるかに応じてdまたはd-1次の巡回群である。更にガロワ点の個数の評価式も求まった。すなわち、PがVの点でd=4ならその個数は4([n/2]+1)以下であり、d>4なら[n/2]+1以下である。また、PがVの点でないならn+2以下であることも判明した。特にVがフェルマー多様体である必要十分条件はガロワ点の個数が最大値をとるときであるという新事実も発見した。更に,これら最大値を取るすべての場合の定義式の標準型も求まった。

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配分額：14700000円 （ 直接経費：14700000円 ）

(1)基本群と分岐被覆.難波誠は土橋宏康と共に,複素射影平面内の曲線の補空間,およびその曲線で分岐する有限ガロア被覆の基本群の実際的計算に,ひとつの方法をあたえ,それを用いて新しいZariski対の例をあたえた.
(2)Epstein-Penner構成の一般化.秋吉宏尚と作間誠は,有限体積カスプ付き双曲多様体に対するものへ一般化し,凸核との関係を調べた.穴あきトーラス群に関しては,折り曲げ線層がEpstein-Penner分解を決定するであろうという予想を立て,和田昌昭,山下靖との共同研究により,いくつかの部分的解答と,コンピュータ実験を行った.
(3)秋吉宏尚,宮地秀樹,作間誠は共同研究により,McShaneの等式の類似が穴あき曲面束に対して成立することを証明した.この公式は,カスプトーラスのモジュライをファイバー曲面上の本質的単純閉曲線の複素長を用いて表すものである.
(4)穴あきトーラス擬フックス空間の実3次元切り口の描写.和田昌昭と山下靖は,穴あきトーラス擬フックス空間の実3次元切り口を描くコンピュータソフトを開発した.

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配分額：2800000円 （ 直接経費：2800000円 ）

1.二面体群、対称群等の有限群Gに対してGal(π)【similar or equal】Gとなるガロア被覆π:X→YでGをガロア群に持つ任意のガロア被覆ω:W→ZがZからYへの有理写像による引き戻しで得られるものを構成した。一つの応用として、位数2r(ただし、rは奇数)の二面体群をガロア群に持つ射影平面のガロア被覆の分岐点集合Cが既約ならば、fh^2=g^2_1+g^r_2を満たす二変数斉次多項式f,h,g_1,g_2が存在し、C=(f)となることを示した。
2.射影平面の曲線の補集合の基本群をいくつかの具体例について計算した。その結果、各曲線が4本のconicからなり、nodeとtacnodeのみを特異点として持つZarisiki pairの新しい例を得た。また、もう一つの応用として射影平面のガロア被覆空間の基本群の計算方法を与え、いくつかの具体例について計算した。
3.Xを射影平面のガロア被覆空間、X^^-をその特異点解消とするとき、次の結果を得た。Gal(X/P^2)のすべての部分群が正規部分群ならば、X^^-の不正則数は0。Gal(X/P^2)が位数2p(pは奇素数)ならば、X^^-の不正則数はp-1の倍数である。
4.射影空間からそれ自身へのガロア被覆の同型類を完全に分類した。
5.射影平面のガロア被覆空間の最小特異点解消の普遍被覆空間が多重円盤または開球となる例の構成方法を与え、多重円盤となるものについてはある条件を満たすものはすべてそのようにして得られることを示した。また、それらのものについては一意化を与える微分方程式を具体的に求めることができることを示した。

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配分額：1800000円 （ 直接経費：1800000円 ）

非特異代数曲線を標準写像で埋め込み、線形部分空間からの射影を考察した。その射影に付随する直線束が単一生成的になるための条件を曲線の不変量を用いて記述することを試みた。また、射影による像が2次超曲面で切り取られるための条件を考察した。射影をとらない状態では、マックスネーターの定理およびエンリケス・ペトリの定理として知られているように、標準束はクリフォード指数が正のとき単一生成的であり、クリフォード指数が2以上ならば標準像は2次超曲面で切り取られる。そこで、射影の中心と標準曲線の交点の数とクリフォード指数を用いれば上記の問題の答えが得られるだろうという作業仮説に基づいて考察を進めた。その結果、ほとんどすべての曲線に対して、射影付きの状態でマックスネーター型定理およびエンリケス・ペトリ型定理を証明できた。実際、クリフォード指数を与える、ある意味で最も小さな線形系に属する数個の点が生成する線形部分空間からの射影は、それを誘導する直線束を著しく弱くし、その結果、単一生成性が崩れていくことがわかった。例えば、次数5以上の非特異平面曲線を例にとると、クリフォード指数は次数から4を減じることで得られる。平面曲線と一般の直線の次数個の交点の中から丁度クリフォード指数個の点を選んで、それらが生成する線形部分空間を中心とする標準曲線の射影を考えると、それは単一生成的でない。これは大変豊富であるが単一生成的でない直線束の具体例にもなっている。また、クリフォード指数から1を減じた個数の点が生成する線形部分空間からの射影は単一生成的だが、像は2次超曲面では切り取られない。

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配分額：25910000円 （ 直接経費：23900000円 、 間接経費：2010000円 ）

期間中に開催した主な研究集会は以下の連りである:
1)「退化・被覆・特異点の代数幾何とトポロジー」2000年2月,東北学院大学,世話係:足利正・尾形庄悦・今野一宏.複数の分野間の興味深い交流が行われた.
2)国際シンポジウム「Algebraic Geometry 2000」2000年7月,長野県安曇野.組織委員:M.Green, L.Illusie, K.Kato, E.Looijenga, S.Mukai, S.Saito, S.Usui(Chief).海外からの参加者60名を含む150名の参加者が密度の濃い交流をし,本科研費の第1の目標が達成できた.
3)国際シンポジュウム「Algebraic Geometry in East Asia」2001年8月,京都府国際高等研究所.組織委員:大渕朗(委員長)、今野一宏、森脇淳、中山昇、臼井三平.東アジアを主とする海外からの参加者15名を含む60名程の参加者が密度の濃い交流をした.東アジア各国持ち回りの会に発展しそうである.
4)「代数幾何学シンポジウム」兵庫県立城崎大会議館,恒例の代数幾何学全分野の研究集会.1999年11月,世話係:今野一宏・遊佐毅.2000年10月,世話係:大野浩司,加藤文元.2001年10月,世話係:徳永浩雄,小林正典.
5)「Hodge理論と代数幾何学」20年近く続く恒例の研究集会.1999年10月,鹿児島大学,世話係:朝倉政典・坪井昭二・臼井三平.2001年11月,大阪大学,世話係:朝倉政典,臼井三平,佐竹郁夫,斎藤秀司.
個々の研究実績の主なものとしては,臼井と加藤による対数的Hodge構造のfine moduliの構成がある.代表者・分担者によるその他の成果については発表論文表参照.

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配分額：2200000円 （ 直接経費：2200000円 ）

以下の場合に、群環のいわゆるワイルドな表現型をもつブロック多元環上の既約加群は、アウスランダーライテングラフの端に位置することが証明できた。
(1)有限シュバレー群に対し、素数が定義体の標数の場合
(2)有限シュバレー群に対し、素数が定義体の標数でなく、かつ、いわゆるリニアである場合
(3)対称群、交代群とその被覆群の場合
(4)いくつかの散在型有限単純群の場合
しかし、F4型の有限シュバレー群で定義体の標数が2で群環の標数がリニアでないとき、また、ラドバリスの散在型単純群の被覆群のときには、アウスランダーライテングラフの端に位置しない既約加群が存在することも分かった。なお、これらのときは、いずれもその既約加群は、アウスランダーライテングラフにおいて端から2番目の場所に位置する。一方、一般の有限群の場合に有限単純群、あるいは、その被覆群の場合に問題を帰着できることも証明されており、有限単純群の分類定理を用いると上記の結果により一般の場合にも、ほとんどの場合(上の二つの群が関与しない場合)既約加群は、アウスランダーライテングラフの端に位置することが期待できる。
以下の場合に群環のアウスランダーライテングラフの各連結成分における既約加群の個数が高々1個であることが証明できた。
(1)有限シュバレー群に対し、素数が定義体の標数の場合
(2)群のシロー2部分群が可換で素数が2の場合
(3)対称群の場合
また、群環の不足群の位数が4であるブロック多元環について、アウスランダーライテングラフの端に位置し、かつ、剛性をもつ加群の特徴付けを行い、それを用いてこのようなブロック多元環の間の導来同値の再構成を行った。

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配分額：11600000円 （ 直接経費：11600000円 ）

コンパクトなケーラー多様体上の正則ベクトル束に対する小林-Hitchin対応の動場版として.Chow-mumfordの意味での安定性を微分幾何学的な概念で言い換えようという試みが.Tianらによって始まっている。
(1)我々は、対応の基礎となる-意性定理がKahler-Einstein計量の自然な一般化に対しても成りたつことを示した。(これは最近のTian-Zhuの仕事と競合している。)
また.対応の動場版そのものについては、次の2方向から研究した。
(2)中川との共同研究で.板東・カラビ・二木指標を.多様体の半安定性への障害として特徴付けることに成功した。この結果は藤木の先駆的な仕事に多くのものを負っている。
(3)偏極多様体の場合は漸近的な安定性が問題になるが,これは複素解析的には漸近的に構成されるベルグマン計量の存在と深くかかわってくることが分かった。そして現在では、小林-Hitchin対応の動場版のasymptotic versionを.主にこの方向から集中的から組織的の研究している。

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配分額：7300000円 （ 直接経費：7300000円 ）

リーマン面の量子構造という観点から低次元位相幾何に関する新しい統一的方法をあみ出すことを目的に,主に幾何的側面と代数的側面とに分かれて研究を進めた。そのなかで,結び目の量子不変量から結び目穂空間の双曲体積と呼ばれる計量的不変量が導かれることがあきらかとなった。さらに,双曲構造がはいる3次元多様体の双曲体積も量子不変量から導かれることがわかってきた。これらの事実は,量子不変量が,単に結び目や3次元多様体を分類するための指標となるばかりでなく,様々な幾何的情報までも含む不変量であることを示唆しており,量子不変量を用いて幾何的性質を調べる新たな手法を与えることに成功した。
また,量子不変量のある種の展開をあらわす有限型不変量や,有限型不変量を統一的に捕らえるウェブ図についても研究し,その新しい性質をいくつか明らかにした。
量子不変量は,共型場理論や,q-変型の理論などと密接に関係しているが,これらについても新しい知見を得ることができた。一つは頂点作用素代数の研究で,特に共形場理論のおける相関関数を厳密に決定する問題に深く関わる保型形式との理論との関係を解明した。また,q-変型の理論と関係する有限群のモデュラー表現について,projective indecomposable modulesのいわゆるheart(radicalをsocleで割ったもの)を調べ、heartがindecomposableでない場合を決定した。さらに,複素鏡映群のフロベニウス・シューア指数のq-変型を定義し,対称群およびimprimitiveな複素鏡映群の場合に具体的に計算した。

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配分額：2000000円 （ 直接経費：2000000円 ）

1. 既約加群は、剛性をもつことが知られているため、既約加群の加群圏での位置と剛性をもとに射影加群や群環自身の構造を調べることを試みている。加群圏での位置とは、加群圏のアウスランダー・ライテン・グラフ上の位置のことである。既約加群は、特定の場合を除いてアウスランダー・ライテン・グラフの端点に現われると予想されていたが、これには反例があることが確認された。しかしながら、多くの場合、この予想が正しいことも証明された。具体的には、次の事実が示された。
(1) 有限代数群で考えている素数が定義体の標数と一致する場合、予想は正しい。
(2) 対称群、交代群については予想は正しい。
(3) 考えている素数が2で群の2シロー部分群が可換の場合、予想は正しい。
(4) いくつかの散在型単純群で予想は正しい。
(5) 予想に反例がある場合、その群に哩め込まれている準単純群のいずれかで、やはり予想は成立しない。従って、予想の証明は、その群に埋め込まれている準単純群の場合に帰着される。
(6) 予想には反例がある。現在知られている反例はふたつである。
(1)(2)(3)(4)の証明には、それぞれの群について成立しているかなり深い事実を用いる。また、(6)の反例の発見は、ドイツ、アーヘン工科大学ヒス教授の計算機による分解行列の計算に負っている。反例となっている既約加群の次元は875823である。
2. 加群圏のアウスランダー・ライテン・グラフのひとつの連結成分が含み得る既約加群の数は高々ひとつであろうと予想されている。これについても、(1)有限代数群で考えている素数が定義体の標数と一致する場合、(2)対称群、交代群、(3)考えている素数が2で群の2シロー部分群が可換の場合については正しいことが証明された。

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配分額：2000000円 （ 直接経費：2000000円 ）

本年度は、一般のTrube domain上のKoecher Maass級数の解析接続、関数等式、を証明した。またKoecher Maass級数を用いた保型形式のliftingの記述、応用の可能性を研究した。これは昨年度の研究でDukeとImamogluによるKoecher Maass級数を用いたSaito-Kurokawa liftingの別証明を深く研究したとき以来の懸案でもあった。研究代表者はかなり以前より直接フーリエ係数を用いる形で1変数から偶数次数のジーゲル保型形式への具体的なリフティングの予想を持っていたが、はからずも今年度にDukeとImamoguluによる類似の(しかしstandard L関数によってリフティングを記述するという点ではかなり異なる)予想が伝えられ、さらにはBreulmannとKussがこれを数値実験で検証するという進展があった。全く違った発想で本質的に同じ現象の別の側面と思われる予想がたてられたということは予想の正当性を裏付けるものであると思う。現在我々はこれと類似の実験をKoecher Maass級数という観点で実行しつつあるし、また考え得る証明の方針、さらにはどの部分が難しいのかといったことも、かなり見えてきた。この点では、Koecher Maass級数の有用性もはっきりしてきたといえる。萌芽的研究の目的である新しい分野を開くという点では次の研究につなげることができ、成功であったと考える。研究に関連して、研究代表者はジョルダン代数について金沢大学にて発表を行い、代数曲線の有理点について東京大学で、また2次形式のゼータ関数(特に不定符号の場合)について、山形大学、京都大学等で発表し、韓国西江大学校での研究集会「整数論ミニコース」で集中講義を行うとともに、延世大学校の談話会で発表をおこなった。また、秋には第1回整数論オータムワークショップを主催し、研究交流によりGL_nの保型形式とリフティングの関連について理解を深め、また12月にはドイツ国オーベルボルファッハ研究所では国際研究集会の共同議長を務め、かつ講演も行った。

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配分額：6100000円 （ 直接経費：6100000円 ）

10数年続けている研究集会を今年も開催した:
「Hodge理論・Log幾何学・退化」1998年10月12日〜16日,於山梨県北巨摩郡大泉村八ケ岳高原泉郷,世話係:朝倉政典・荒川達也・臼井三平
今年度はHodge理論・Log幾何学・退化というテーマについて以下の研究発表を行い、それらを巡る活発な討議が行われた.この研究集会の報告集を印刷し配付した。
昨年に続き小人数合宿形式による次のミニワークショップを行い密度の高い討議をした:
「Hodge理論と代数幾何学」1998年1月28日〜31日,於兵庫県多可郡八千代町エーデルささゆり,世話係:臼井三平
また昨年に続き,勤務時間外に自由参加として,中学生を主とした地元の人達との交流をした.今年度もこの試みは双方にとって大変好評であった.
個々の研究実績・発表として主なものは次の通りである:臼井三平と加藤和也は昨年度の共同研究の成果を発展させ,Hodge理論とLog幾何学を使ってHodge構造の分類空間Dの数論的群による商の部分コンパクト化についての最も望ましい結果を得た.これはDがHermite対象領域の時のMumford等によるトロイダルコンパクト化を含み,それらを一般化したものである.この成果について目下論文を作成中である.川又は標準特異点の変形および多重標準形式の拡張性を研究した.向井は偏極K3曲面の双対性についてEuroconferenceで講演した.1998年12月の奈良における谷口基金による最終国際学会で,森は代数多様体上の有理曲線について,加蟇はBlochコンダクターとp進イブシロン元について講演した.1998年6月のカナダのBanffにおけるNATO高等研究集会において,臼井は対数的Hodge構造とその分類空間について,齋藤はCalabi-Yau多様体の湯川対のポテンシャルと鏡対称性について,朝倉政典は数論的Hodge構造について講演した.今野は,標準曲線の定義式系に関するReid氏の1-2-3予想を完全に解決した.足利正と荒川達也は共同研究により退化超楕円曲線束のMorse化問題を解決した.遊佐毅は幾何殻という概念を導入しそれの基本的性質そ調べた.
本科研費の分担者・協力者によるその他の成果については発表論文表参照.

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配分額：2100000円 （ 直接経費：2100000円 ）

1.特殊線形群については、低次のものに対して(5次以下)、鍵となる素数が定義体の標数を割る場合にデイド予想が成立することが検証された。さらに、ブロックごとに検証することにより、射影特殊線形群についても低次のものに対し予想が検証された。
2.上記の結果では、やはり、放物型部分群の巾単部分の表現の放物型部分群の作用による軌道分解の解析が重要であった。そこで、この軌道の解析結果を一般化することを試み、かなりの軌道について満足のいくパラメトリゼイションを得た。特に、巾単部分の自明な表現の軌道から得られる(放物型部分群の)表現の個数について比較的簡明な関係式を得た。このことは、アルペリン-マッケイ予想とも関連し、興味深い。
3.交代群の場合、必要な議論の複雑度は、対称群の場合と比較にならない程増すが、対称群の場合に用いられた方法を相当一般化し、特殊線形群の場合の結果を応用すれば、この場合も検証できると予想される。これについては、対称群の場合の議論の最終の2,3ステップを残して一般化を完了し、かつ、特殊線形群の場合の結果を応用し易いよう改良を試みた。したがって、交代群の場合の検証に至る議論もかなり進んだといえる。
個々のステップにおいては、組合せ論的、整数論的、代数幾何学的考察、また、計算機の運用が有益であった。また、デイド予想について数多くの場合を検証しているアン博士(ニュージーランド、オ-クランド大学)を研究の中間段階で日本に招へいし、助言を得たことも大きな影響を与えた。上記の結果についての詳細の発表は、現在準備中である。

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配分額：2400000円 （ 直接経費：2400000円 ）

近年,いくつかの幾何学的不変量が,数理物理との関連からファインマン積分の形で導入・提案されてきた.ファインマン積分は,数学的な基礎付けが不十分であるにもかかわらず,これらの不変量は別の形で数学的な基礎付けがなされている.さらに,これらのファインマン積分には物理的に意味のあるパラメータが入っており,このパラメータに関する漸近展開からもさまざまな不変量を考えることができる.ここでは主にリーマン多様体間の写像空間上のファインマン積分を考える.すなわち定義域多様体 と値域多様体を固定し,定義域多様体から値域多様体への写像から定義される関数(主要部はこの写像のエネルギー指数関数)をこの写像空間上積分する.
値域多様体が一般のケーラー多様体の場合にファインマン積分の高次摂動展開を考えることにより,Gromov-Witten不変量の一般化を導入し,さまざまな表示をえることを長期的な目標とし、平成8年度は,定義域多様体が2次元球面の場合を考えた。Gromov-Witten不変量は,擬正則曲線のモデュライ空間上の積分として、表わせるという結果が出たため(深谷-小野)、直観的には停留点法から得られるファインマン積分の値に等しいと理解できた。高次摂動展開のため、このモデュライ空間を写像空間に埋め込み、そこでの法バンドルを考える必要がある。さらに、このモデュライ空間はコンパクトではないため、コンパクト化への法バンドルの拡張が必要になる。平成8年度は、先に引用した結果の理解とこの拡張の構成に終始した。高次摂動展開には至らなかったが、そのための基礎的な枠組みの構成の見通しを得た。

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配分額：800000円 （ 直接経費：800000円 ）

相対エントロピーとは確率分布族のモジュライ空間上で定められる距離関数に類似した量で、モジュライ空間に自然なリーマン計量を定める。特に、運動量写像や上記のリーマン計量を介して、多項分布の双対として複素射影空間上の標準的なアインシュタイン=ケーラー計量が得られることが知られている。これは情報幾何における相対エントロピーという概念が、ケーラー多様体上でのある種の非線形可積分系やモジュライ空間、更には適当なシンメトリーの下での運動量写像と何らか深くかかわっていることを示唆している。こういう観点から、シンプレクティック構造の退化した場合の運動量写像の研究を小田(昌史)、野田(知宣)両氏と共同で行った。また類似の観点から、アインシュタイン=ケーラー計量とモジュライ空間の関わりについてのティアンの最近の仕事の整理及び見直しを、シンガポール大学のLin Weng氏と共同で推し進めた。
一方、ケーラー多様上の(上記の相対エントロピーを含めた)より一般的な諸構造の系統的研究が、例えばmultiplier ideal sheaf,HoгmanderのL^2-method、特異エルミート計量等の道具を用いて新たな展開を見せようとしている。これは重要な方向性として“森理論の局所化"の前段階を含むが、こうした新しい視点から多重種数の変形不変性予想をとらえ直す作業を、辻元氏と共同で行っている。また、これら活動の一環として、1996年11月5日から8日まで、菅平に於て、少数精鋭方式の研究集会“複素幾何シンポジウム"を24名の参加者を以てとり行った。

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配分額：5400000円 （ 直接経費：5400000円 ）

本研究の目的は
(イ)渦系の方程式を非線型シュレディンガー方程式に帰着すること。
(ロ)それにより、解の存在を証明すること。
(ハ)それらの応用。
であった。それぞれに関して以下の成果を得た。
(イ)問題の微分幾何学的側面を強く反映する対象として、3次元等質空間上で考察した。その結果、定曲率空間の場合と類似した非線型シュレディンガー方程式を得た。
(ロ)その非線型シュレディンガー方程式の解の存在を示した。従って、上記の渦系の方程式の解の短時間存在が示されたことになる。
(ハ)上の手続きにおいて、標準的非線型シュレディンガー方程式にある性質を持つ項を付け加えても、解の短時間存在は保証されることを示した。又、解の一定性については、常に代立てることを示した。

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配分額：6200000円 （ 直接経費：6200000円 ）

1.研究代表者の宮西正宜は、まずAbhyankar-Mohの定理とLin-Zaidenbergの定理を開代数曲面の 分類論の立場から再証明を与えた。さらに、無限遠点に1座点をもつアフィン平面上の代数曲線の最小次数の埋め込みを 曲線の種数によって分類した。また、Hilbertの第14問題について考察し、P. Robertsの反例の証明を簡略化した。
2.藤木 明は、ある種の超ケーラー商空間として得られる超ケーラー多様体を四元数多様体として自然に部分的にコンパクト化する方法を見いだし、そのコンパクト化の性質を調べた。また、同変コホモロジー群を用いてモーメント写像によるケーラー商空間のVariationを調べた。
3.臼井三平は、Log幾何学を使って消滅サイクルの回復ができることを証明した。応用として、退化したHodge構造の変形のZ構造およびモノドロミ-の記述を明確にした。
4.村上 順は、有限型不変量と量子不変量に対して普遍的な結び目のKhontsevich不変量を用いて、3次元多様体の不変量を構成し、その性質を研究した。また、この不変量に対し、位相的場の量子論を構成するとともに、その応用として、曲面の写像類群の族を構成した。
5.今野一宏は、代数曲面の非楕円的なペンシルにフォードインデックスを定義し、傾きの下限を調べる一般的な方法を定義した。併せて退化ファイバーの堀川インデックスも定義した。
6.山根宏之は、Ramの論文で与えてあるBMW代数の指標を計算する技術を獲得した。

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配分額：1900000円 （ 直接経費：1900000円 ）

本年度は、保型形式として、主として重さk(整数)の次数nのSiegel Eisenstein級数E^n_k(Z)をとりあげ、ゼータ関数としては、それに付随するKoecher Maassのディリクレ級数L(s,E^n_k(Z))(E^n_k(Z)のMellin変換で得られるゼータ関数)を取り上げた。このゼータ関数の具体型はn=1は古典的によく知られている。また、n=2はフーリエ係数のMaassによる公式から、Boechererが導いている。しかし、一般の公式は予想等もこめても、全くなにも知られていなかった。今年度のこの研究におけるわれわれの主定理として、L(s,E^n_k)の完全に具体的な公式を得た。結論は、多く専門家の思いこみに反して、いたって単純な形に記述される。すなわち、nが奇数ならリーマンゼータ関数の平行移動の積の2つの線形結合になり、またnが偶数なら、重さ半整数の2つの1変数Eisenstein級数のMellin変換のconvolution productとリーマンゼータの平行移動の積、およびリーマンゼータの平行移動の積の2つのディリクレ級数の和になる。以上、本研究代表者が研究課題名(オイラー積の和としてのゼータ)に予言した通りの方向で結論が得られたわけであり、これは、研究方向の正当性とKoecher Maassディリクレ級数がヘッケ作用素による従来のゼータ関数と同じように非常に興味深い対象であることの両方を指し示しており、保型形式論の今までにない新しい側面を切り開く成果であると信ずる。なお、以上の成果に関連して、大阪大学、京都大学、九州大学、室蘭工業大学等で講演を行った。

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配分額：2100000円 （ 直接経費：2100000円 ）

研究課題に従い、物理数学に現われる偏微分方程式の研究、擬微分作用素論の研究更にはフーリエ解析の応用として高次元空間におけるウェーブレット理論などについて研究した。
研究代表者は擬微分作用素の基礎理論、特にL^p-理論について研究し、L^p(IR^n)からL^q(IR^n)(p<q)への有界性に関して成果を得た(発表予定)。またウェーブレット理論についても3次元空間IR^3でのウェーブレットに関して単純ウェーブレットと呼ばれるウェーブレットの構成法について成果を得た。この検証にあたりコンピューターを用いてこの構成法で8通りのウェーブレットが構成できること及び4次元以上の空間では単純ウェーブレットの構成は不可能であることなどを得て数学的な証明を与えた。また高次元多重ウェーブレット(multi-dimensional multi-wavelet)について新しい構成法を引き続き研究している。

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ジャコビアン予想の解決を目指して、完備または非完備な代数曲面を中心として、その構造と位相に関する研究を行った。
1.2次元のジャコビアン予想は、f,gをC[x,y]の元で、ジャコビアン行列式j(f.g)=1となるものとするとき、微分作用素δ=f_x∂/∂y-f_y∂/∂_xが局所巾零であるという条件と同値である。これを研究するために、素元分解環RについてSpec(R)上のvector fieldを分類することを考えた。δ-integral element,δ-integral factorの概念を導入し、δ-integral elementのなす部分環R_δによって分類にいたる結果を得た。
2.Abhyankar-Moh-Suzukiによるアフィン直線のアフィン平面への埋め込みの線形化に関する定理を、種数が低い場合に拡張したW.D.Neumannの結果がある。これは無限遠点において定められるknotの性質を調べることによってなされたが、新たに代数曲線の極小退化の観点から代数幾何学的証明を与えた。
3.一般型ホモロジー曲面の第1及び第2Chern類については、宮岡-Vau型の不等式が成立する。特に完備な場合で、種数2のファイバー束の構造がある場合にはXiaoによって、(c_1)^2≦2c_2が成立するが、ホモロジー曲面で一般ファイバーがC^<2・>に同型であるようなファイバー束の構造がある場合には、Xiaoの結果と同じ結果が成立することを示した。(杉江徹(滋賀大)との共同研究)
4.上記Abhyankar-Moh-Suzukiの定理、およびアフィン平面上の可縮曲線がx^m-y^n=0の形に書けるというLin-Zaidenber-Moh-Suzukiの定理を非完備代数曲面の分類論の立場から証明を与えた。元の証明に比べて大幅に簡略化できる。(R.V.Gurjarとの共同研究)
上記1,2,3,4の研究は高次数の多項式の処理と数値的な裏付けが必要であるが、本科研費の設備費で購入したNextStepにより実行した。

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配分額：900000円 （ 直接経費：900000円 ）

本年度研究計画に従い標準曲面およびその2次包の研究を行なった。まず、2次包の次元の取りうる値の上限を考察し、2次式の数え上げ法と宮岡-Yauの不等式を用いて高々19であることを示した。幾何種数が十分大きければ,同じく高々9であることもわかった。同時に,2次包の観点から見て重要であると思われる直線をいくつか見出した。今後の調査が待たれる。一方、2次包の幾何学と標準曲面のそれが関連する例として三角的曲線束を持つ曲面の傾きを調べた。まさに2次包の影響によって超楕円曲線束の場合とは著しく異なる傾きの下限を発見できた事は本研究の特筆すべき成果である。但し、当初の目的だったエンリケス・ペトリ定理の高次元化が達成できなかったのは残念である。リ-ド予想と併せて今後の課題である。
また,2次包を構成する際の障害となる不正則数に対しても考察し、曲面と3-foldの場合に一定の成果が得られた。いずれの場合も標準写像が著しく退化すると,不正則数は余り大きくなれない事がわかり、標準一次系の強さと他の不変量との関係が明らかになりつつある。
以上の成果は順次論文としてまとめた上で発表する予定である。

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配分額：12600000円 （ 直接経費：12600000円 ）

まず、前年度の報告でカバー出来なかった1993年1月-3月の報告をする。石田はトーリック多様体の交叉ホモロジー群をコーンの言葉で記述することに成功した。これにより、トーリック多様体のホッジ数が対角線部分しかでない等の結果を得て、スタンレーの単体的凸多面体の面に関する議論を簡略化した。斎藤政彦は複素代数曲線上のアーベリアンスキームのネロンモデルとモ-デル・ヴェイユ群のホッジ論的研究を行なった。特にアーベル多様体の一変数退化の場合にネロンモデルの単位元の連結成分がドリーニュ、シュミットによるホッジ構造の標準的拡張によって得られる事を示した。フルトンは3月17日から10日間、当共同研究計画の援助でMSRIを訪問し、古典群のフラッグ多様体上でシューバート多様体に関する公式の発見を行なった。成果はテルアビブでのヒルツェブルフ65歳記念の研究集会の報告集に発表の予定。
94年度に入って、臼井はロ-エンハ-との議論等から刺激を受けて、ホッジ構造の分類空間の数論的群による商Xの部分コンパクト化を幾つかの場合に構成した。例えば、マンフォード等のコンパクト化の拡張としてXに境界因子を付け加えてその上に複素構造を入れることが出来た。松木は6月から1カ月間RGI(ユタ州)で行われる研究集会に出席し、RGIから招待された森とフリップの簡易化を試みた。この時の研究連絡の延長として、森は今年7月のユタ大学での研究集会でコルティと共同研究を行なう事になった。森は10月からの約2カ月のユタ訪問で3次元フリップ特異点の反典型線型系に関するリ-ド予想の証明を完結させた。これはコラール・森による規約なフリップ特異点の場合のリ-ド予想からは従わず未解決であった。
これまでの年次報告に含まれなかったものを幾つか説明しておきたい。
コラール・宮岡・森は代数多様体上の曲線の変形を用いて、川又の3次元Q-ファノ多様体の第2ベッティ数が1である場合の有界性定理を、より弱い条件下での有界性定理に拡張した。また、藤田は小平エネルギーの概念を導入した。小平エネルギーが負の場合のその有理性の議論はバティレフの議論を拡張するものであるが上記の議論に密接に関係している。小林は小平エネルギーの挙動を研究した。更に、宮岡は趙と共同で、曲線の変形手法を用いて射影空間の特徴付けを行っている。
向井による非特異3次元ファノ多様体の双正則分類は、ファノ・イスコフスキー・ショクロフの議論にあったK3曲面、ベクトル束、典型曲線等を用いてファノ多様体を直接的に構成できるという興味深いものであるが、向井はそれをゴーレンスタイン典型特異点の場合に拡張し議論も簡略化した。隅広は豊富線束に関する小平・秋月・中野の消滅定理をある種のベクトル束に拡張し、射影空間の余次元2の部分多様体への応用を得ている。今野は一般型曲面の典型写像に関するシャオの結果の精密化に成功した。又、横川は放物型ベクトル束のモジュライ多様体を研究した。角田は微分の概念の一般化と数論的多様体への応用を試みている。
当計画の目的は高次元代数多様体全般であり、前年度報告そして上述のように様々な角度から成果が上がったが、ここで端射線理論の周辺に焦点を絞って述べてみる。
コラール・宮岡・森は代数多様体を曲線の変形により理解する立場で研究してきたが、コラールはこの変形手法を基本群と結び付けシャファレビッチ写像の構成に応用し、同手法の普遍的有用性が認識された。3次元極小モデル理論については、川又の重要な豊富性定理を、松木がキ-ル・マッカネンと共同で境界つきの3次元多様体に拡張することに成功した。川又は正標数で安定型極小モデル理論を証明した。又、前述のようにリ-ド予想は森により3次元フリップ特異点については解決された。前年度の報告に述べたフリップを書き表す研究は、今年9月にリ-ドが来日し共同研究により発展させようという計画である。

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配分額：1900000円 （ 直接経費：1900000円 ）

アダマール多様体上の可視性公理(第一公理)がEberlein-O'Neillによって定義され、古典的結果として、断面曲率が負の定数で上から抑えられていればそうなること、及び、曲面の場合には任意の扇状部分の全曲率が非有界であることと同値となること、が知られている。これ等定理の証明の本質的部分は曲面上のガウス-ボンネの定理である。又、一点の極座標表示を用いて直接仰角を評価することにより、上江洲は後者を一般次元へ拡張し、ヤコビ場の長さの増大度による同値な表現を得ている。他方、Gromorは透徹した思考の下にアダマール多様体の基本性質を調べ、理想境界上にティッツ距離を導入した。その議論の本質的部分は(1)距離関係の凸性、定曲率空間における余弦公式と比較定理だけに基づく初等幾何学的処理、(2)結果として、ティッツ距離が距離球面の内部距離の極限として表され、可視性公理がこの距離の非有界性と同値であること(他の同値な条件も与えた)、にあることを指摘したい。このティッツ距離の表示とヤコビ場の長さの増大度の類似性に着目し、これ等議論においては比較定理を用いたヤコビ場の長さの評価のみが重要と思われた。そこで、このティッツ距離をヤコビ場と結びつけて解釈し直すことにより、可視性公理及びそれに関連する性質を整理統合し統一的に扱うことが可能となった。即ち、上江洲の定理のティッツ距離に基づく別証、上記定理のガウス・ボンネにようない証明、アダマール多様体が頂点をもつ回転体(即ち、Greene-Wuによるmodel)の場合には簡明な表現等が得られた。その応用として、Abreschによる漸近的非負曲率多様体におけるヤコビ型2階常微分方程式の解の評価に関する議論を精密化することにより、このmodelIにおいては可視性公理が曲率位数,安定ヤコビ場の長さでも表せれ、このことからゼロ公理への一つの判定条件が示せた。

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配分額：1900000円 （ 直接経費：1900000円 ）

私は森の定理:TxがアンプルならXはP^nに同型の一般化として次の問を考えた。即ち『接束Txが半アンプルベクトル束(:O_<IP(Tx)>(1)^<【○!X】m>(m≫0)が底点をもたぬ』)のファノ多様体は有理等質射影多様体か。そして平成3年度の具体的実績として∧^^2Txがアンプルな射影多様体は,P^nか2次超曲面であるという定理をえた。まず微分幾何の方に“bisectional曲字が非負"であれば同種の結果がえられるというMokによる結果があるが,上の条件“"は『』より強く,それ故,等質空間をえるための有効な定理がBergerによりすでに準備されていることをことわっておきたい。さて定理をえるために次数が一番小さい有理端曲線の族を考える。その中で一点Aを通るそれらの曲線の合併X_Aは(イ)X全体か(ロ)Xのdivisorを構成する。((イ)はP^n,(ロ)は2次超曲面を導く)。(イ)は森の定理と密接に関連するが,彼の取り扱かっているよりたちの悪い有理曲線(ノ-ダル曲線,カスピダル曲線)の可能性があり、これを除外しなければならない。そのためにTxをその上に制限してできるベクトル束を綿密に調べ,X内での挙動より矛盾に至る。この議論は,さらに複雑な有理等質空間をえるためのステップとして重要な位置にあると思はれる。(ロ)はX_Aが全体をはらぬことより、それ自身をしらべるためにAをXの中で動かす。故にX_AがAのみで特異点をもつ錐になることがわかる。私はこの方法で例えばXがグラスマン多様体をえるための議論をしたいが,この時はX_Aの1次元がXに比してさらに小さくなり取り扱いが一層困難になる。しかし,一般の場合への足がかりとしての意義は確かにあると思う。(この結果は趙康治(九大・理)との共同研究である)。上の結果の他に私は、正標数で‘宮岡・森による数値的条件による単線繊性'と‘分離的単線繊性'とが,異なっていることを非特異代数多様体を作ることによって示した。

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配分額：2800000円 （ 直接経費：2800000円 ）

次の三つの会を催した。
(1)代数幾何学とHodge理論研究集会、1989年8月23ー28日、於北大理、主催者:臼井三平、参加者42名、旅費謝金支給者11名。
(2)代数幾何学とHodge理論ワ-クショップ、1989年11月28日ー12月1日、於高知大理、主催者:臼井三平、参加者31名、旅費支給者7名。
(3)代数幾何学ミニシンポジュ-ム、1989年12月21ー22日、於東大理、主催者:川又雄二郎、参加者73名、旅費謝金支給者8名。
(1)と(2)では、計画書及び申請書に記したように、1990年8月に京都で開催される国際数学者会議、東京で開催される代数幾何学と複素多様体のサテライトコンファレンスの準備の一環として、代数幾何学とHodge理論の関係に重点をおいて、各自の研究成果を発表し、世界でのこの分野の動向について討論した。そのうち特に、3次元の分類論の成果を踏まえた曲面の分類・退化および変形理論と、それに伴なう(混合)Hodge構造の変形理論が全体を通じての主題であった。(1)と(2)での成果はまとめて北大講究録シリ-ズとして1990年5月頃に公表し、世界の主要研究所に配布する予定であり、現在準備中である。投稿者18名。
(3)は総合研究(A)(代表者:宮西正宜、阪大理)との共催によるもので、テ-マをより広く代数幾何学とし、若手研究者を主体とした会であった。この成果は上記の総合研究(A)により、公表される。
以上の外、臼井と分担者の斎藤政彦、今野一宏は特に密接に連絡を取り合い、曲面のTorelli問題について討議を深めた。
なお、代表者・分担者等の研究発表については、裏面11欄に記入出来なかった分は別紙として添える。
交付額の範囲内で上記の計画を実施するため旅費不足となり、当初予定していた印刷費を旅費の補充とし、研究成果の公表は上記の様にした。

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配分額：2000000円 （ 直接経費：2000000円 ）

本研究に於いて各分担者はそれぞれ次のような研究成果を得た。
保型形式論からの研究を行なった佐武と特異点論からの研究をした尾形は、その共通部分にあたる対称空間の離散群の作用による商空間に現れるカスプ特異点について、リ-マンロッホの定理とゼ-タ関数の零での値から得られる2つの不変量を研究してその計算法を求めた。
代数幾何学からの研究を行なった研究代表者の石田は佐武と尾形によって研究された不変量について、代数幾何におけるト-リック多様体の理論を発展させることにより、その計算法を具体化した。また星形化可能錐体から実際に作られた作られたカスプ特異点について不変量の計算を行ない双対性が期待出来ることを実験的に示した。
同じく代数幾何学からの研究を行った小田は、代数幾何学の定理で解析的な証明した無い強レフシェッツ定理をト-リック多様体の場合について組み合わせ論的な証明を考え部分的に成功した。またそれに関連してト-リック多様体の双有理幾何学について組み合わせ論に基づいた基礎的な研究を行った。
数論との関連から研究を行った森田はP進体上のディリクレ指標に対するP進L関数のIでの値の下からの評価をベ-カ-による方法で求めた。またヒルベルトの既約性定理の研究でそれが強近以定理と両立し得ることを証明した。
またホッジ理論からの研究を行った今野は、第1チャ-ン類の自己交点数と幾何種数が一定の関係を持つ一般型の代数曲面の研究を行ない、その分類と変形について調べた。またある種の均質代数多様体の超曲面についてトレリの問題が弱い形で成り立たない場合を完全に分類した。
本研究のその他の分担者もそれぞれの方面から研究を行ない色々な成果を得ている。

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配分額：2200000円 （ 直接経費：2200000円 ）

研究代表者島倉は、n次正定値実対称行列の空間で定義された、ある2階楕円型偏微分作用素の基本解の研究を行った。空間の形状が複雑で、その境界での作用素の退化のし方も複雑なので、基本解もそれらの複雑さを反映して多様な特異性を示すものと予想される。n=2の場合には基本解の構成に成功したので、近々発表する予定である。より高次の場合の研究を現在行っているが、行列を変数する様々な特殊的数が重要な役割を演じるものと思われる(研究発表1参照)。
研究分担者加藤は、有限または無限の時間遅れを含む微分方程式の解の安定性の研究を行った。まず、解の有界性の概念も、時間遅れが有限であるか無限であるかによって異なる。この違いは方程式の具体例において端的に示される(研究発表2,3参照)。
研究分担者猪狩は、多変数のハ-ディ空間を研究した。これは多変数のマルティプライア-および特異積分作用素の研究の基礎として重要である。ハ-ディ空間の元のアトム分解定理が得られた。
研究分担者斉藤は、作用素環の順序構造と表現論の両立性の研究を行った。両立性の観点から興味深いある種の環の構造を完全に決定することに成功した(研究発表4参照)。
研究分担者高木は、発生生物学の形態形成モデルに関係した半線形楕円型偏微分方程式に対するノイマン問題を研究した。ある仮定のもとで、その最小エネルギ-解は領域の境界上の唯一点で最大値をとることを示した(研究発表5参照)。
研究分担者今野は、等質ケ-ラ-多様体における一般トレリ問題を研究した。さらに無限小トレリ問題、変分トレリ問題についても成果をあげた(研究発表6参照)。

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資金種別：競争的資金

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資金種別：競争的資金

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