配分額：4810000円 （ 直接経費：3700000円 、 間接経費：1110000円 ）

制御項を含む半マルチンゲールの最小化大偏差確率の漸近評価に関して双対性定理を導いた。また、その結果をモデルの不確かさを容認した設定に対応する問題のロバストな評価を得る事に相当する、双対性定理に拡張した。ここでは、対応する双対問題に関するエルゴード型 H-J-B 方程式とその微分に関する解析と、その方程式を確率微分ゲームの問題のH-J-B 方程式と捉える事が鍵となっていた。一方、時間無限範囲で最適消費・投資問題のH-J-B 方程式の解の存在・一意性、及び検証定理を示した。

researchmap

配分額：13520000円 （ 直接経費：10400000円 、 間接経費：3120000円 ）

ディリクレ形式の理論は, 対称マルコフ過程を解析するための重要な道具として発展してきた. ディリクレ形式の理論はL-2理論であり, そのため特異なマルコフ過程を扱うことができる. しかし, マルコフ過程論はある意味でL-1理論である. そのギャップを埋めるために, マルコフ過程に強フェラー性や緊密性を仮定することで, 半群の増大度に対するL-p独立性を示した. 時間変更で生成される対称マルコフ過程に対してL-p独立性を応用することで, 加法汎関数の指数可積分性や大偏差原理を証明した. 熱核評価がポテンシャル項の摂動で保たれるための必要十分条件も与えた.

researchmap

配分額：16770000円 （ 直接経費：12900000円 、 間接経費：3870000円 ）

確率論的手法と実解析的手法を融合的に用いることで、複雑な系の上のマルコフ連鎖とその極限過程を統一的に解析する研究を行った。一般論を展開する観点からは、cycle条件を満たす非対称なマルコフ連鎖の熱核の評価とそのスケール極限の解析、測度付き距離空間上の対称拡散過程に関する熱核の劣ガウス型評価と一般化放物型ハルナック不等式の同値性の証明、飛躍型確率過程の収束理論の構築などの成果を得た。具体例の観点からは、樹木上の臨界確率パーコレーションにバイアス付きランダムウォークを走らせた際の漸近挙動、極限過程の考察を行い、またランダムな有限グラフ上のマルコフ連鎖の混合時間のスケール極限に関する成果を得た。

researchmap

配分額：16770000円 （ 直接経費：12900000円 、 間接経費：3870000円 ）

ウェブで見られるランキングの時間発展のモデルとなる確率順位付け模型の位置ジャンプ率結合経験分布の大数の法則（流体力学的極限）と軌道についてのカオスの伝搬を一定の仮定の下で証明した．結果はオンラインストアのロングテール構造の解析に適用できる．成果は学術論等の専門的な場での発表の他に「Amazonランキングの謎を解く」（服部哲弥著，化学同人出版）で紹介した．

researchmap

配分額：32500000円 （ 直接経費：25000000円 、 間接経費：7500000円 ）

代表者,分担者のみならず日本国内の研究者の研究の進展に役立てるため,2件の国際会議を含む研究集会を毎年複数開催して日本内外の研究者の研究連絡,共同研究などを行った.また,海外の研究者の招聘し,さらに研究代表者,分担者,連携研究者が海外の研究集会に参加し,研究者を訪問した.これらの活動を通して,確率解析の理論の発展に寄与し,統計力学に起源をもつ問題,微分方程式論,多様体のスペクトル,数理ファイナンスなどの研究への応用に関する研究成果を得た.

researchmap

配分額：4290000円 （ 直接経費：3300000円 、 間接経費：990000円 ）

最大従属確率変数列の列の結合分布関数の最大値と最大解,その応用を与えた.Knothe-Rozenblatt Rearrangement (KRR)の一般化とその確率過程版Knothe-Rozenblatt proces (KRP)を定義し, それらの存在, 一意性, 双対定理,微小パラメタを持ったある種の変分問題の最小解の極限としての特徴付けを与えた.KRPの確率流のランダムな確率密度関数の表現定理を与えた. このランダムな確率密度関数の空間変数にKRPを代入したものの対数の平均が凸性を持つことを示した

researchmap

配分額：10780000円 （ 直接経費：8800000円 、 間接経費：1980000円 ）

ディリクレ形式論はL^2理論であり、マルコフ過程論は分布を扱うという意味で本来L^1理論である。このギャップを埋めることにより、マルコフ過程の諸性質が成立するための必要十分条件をL^2の量、特に生成作用素のスペクトル下限の言葉で与えられるのではないかとの思いがあった。そして、これまでの研究で、対称マルコフ過程に対するDonsker-Varadhan型の大偏差原理を用いることでマルコフ半群のスペクトル半径がL^pに依らないことを示し、ファインマン・カッツ汎関数の可積分性、シュレディンガー作用素の熱核のガウス評価の安定性に関する必要十分条件をえた。

researchmap

配分額：13570000円 （ 直接経費：11500000円 、 間接経費：2070000円 ）

フラクタルやランダム媒質を典型例とした複雑な系の上で、熱がどのように伝導するかといった物理現象を解明するため、系の上の確率過程や対応する自己共役作用素の解析を行った.確率過程論と実解析学の手法を融合させる事により、汎用性の高い解析の方法を確立し、いくつかのモデルについて熱核の詳しい評価を与えた.また、シェルピンスキーカーペット上のブラウン運動の一意性という当該分野の20年に渡る未解決問題を、肯定的に解決する事に成功した.

researchmap

配分額：14860000円 （ 直接経費：13000000円 、 間接経費：1860000円 ）

確率モデルのくりこみ群による解析という立場の中で, 確率過程の漸近的性質の導出を中心にして, 新しい解析学としてのくりこみ群の可能性を追求した.成果のいくつかは, 服部哲弥著「ランダムウォークとくりこみ群」(共立出版, 2004)に示した構想を進展させるものである. 目的の一環として, 現象に動機づけられた理論的描像に基づく新しい確率過程の可能性を探り, 成果の実際的な問題への応用も視野に入れた.

researchmap

配分額：47710000円 （ 直接経費：36700000円 、 間接経費：11010000円 ）

本研究は確率論が本来持つ横断性を有機的に活用・発展させるために,様々な研究テーマの下で第一線で活躍する確率論研究者たちを分担者として,彼等の研究の総和をもって我が国の確率論研究に貢献することを目的としている.
当該研究期間内に4つの国際シンポジウムの主催・共催(確率論と数論,大規模相互作用系の析,数理ファイナンスに関するもの2つ),26の国内研究集会の主催・共催(うち毎年開催したのは,確率論サマースクール,ランダム作用素,エルゴード理論,確率論シンポジウム)に携わり,延べ285人の旅費(うち外国旅費13件)を負担した.
研究成果は多岐に渡る.例として代表者の研究成果を3つ述べる.(1)モンテカルロ法を確率的ゲーム(賭け)として定式化しコルモゴロフの乱数理論を用いることによって,モンテカルロ法におけるサンプリングの本質的な問題を明らかにした.さらにその解決のためには暗号理論における疑似乱数生成器の安全性の考えが有効であることが分かった.とくにモンテカルロ積分の場合には「ペアごとに独立なサンプリング法」が安全な疑似乱数生成器を実現していることを指摘した.(2)任意の有限体を係数に持つ2つのmonic多項式が互いに素である確率をアデール完備化を通して,拡張されたエルゴード定理を用いて計算した.(3)自然数列の代わりに独立確率変数の和の列を考えることにより,di-gamma関数のランダム化を考え,それに関する中心極限定理について研究した.これは半直線上のランダムな電荷分布の作るポテンシャルの揺らぎに関する結果と見ることができる.

researchmap

配分額：2600000円 （ 直接経費：2600000円 ）

結晶格子上のランダムウォークの大偏差に関して,幾何学的考察を行った.結晶格子とは,自由アーベル群が自由に作用し,商空間が有限グラフとなる無限グラフである.この周期性から,結晶格子を無限遠から観察すると一様な図形に見える.より正確に述べる.結晶格子をグラフ距離によって距離空間と考え,距離をスケール変換した距離空間の1パラメーター族を得る.このスケールをゼロに近付けたときのグロモフ・ハウスドルフ位相による極限距離空間を,結晶格子の無限遠での接錐という.結晶格子のようなアーベル周期性をもつ距離空間の無限遠での接錐の存在は,グロモフによって知られているが,この極限距離空間を具体的に,また,グラフの幾何の言葉で特徴つけた.距離球はコンパクト凸多面体となり,その端点が,具体的に商空間の閉路の構造で決まることを調べた.更に,この極限空間の単位距離球が,ランダム・ウォークの大偏差源氏に現れるレート関数の本質的定義域と一致することを示し,Math. Z.に発表した.これを非アーベル被覆の場合に拡張することを目標に,ランダム・スネーク,R樹木,超準極限に関するグロモフ,シャピロ,ドルータの結果など,関連研究について情報収集し,検討を行った.その結果,超準解析による定式化を書き下すことができたが,論文として公表するには至らなかった.ランダム・ウォークの長時間挙動,及び磁場付き推移作用素のスペクトルと結晶格子の幾何に関する総説をまとめAmer .Math. Soc. Sugaku Expositoryに公表した.

researchmap

配分額：3600000円 （ 直接経費：3600000円 ）

ファインマン-カッツ汎関数の可積分性(gaugeability)の問題は,シュレディンガー作用素に対する劣臨界性,すなわち,正値グリーン関数の存在や正値解の存在と関連する問題で,ポテンシャルが無い場合にはマルコフ過程の再帰性,非再帰性の判定と同値な問題である.加藤クラスの測度をポテンシャルにもつファインマン-カッツ汎関数が可積分であるための必要十分条件を前年度までに得た.それはポテンシャルから定義されるランダムな時間変更過程の第一固有値が1より大きいことで与えられる.その事実は,時間変更過程の第一固有値が測度や対応する加法的汎関数の大きさを測る基準としての役割を果たすことを示している.本年度はそのアイデアを更に推し進めて,ブラウン運動や対称安定過程の生成作用素にポテンシャルを加えたシュレディンガー作用素を考えたとき,半群の超縮小性が保存されるようなポテンシャルの特徴付けを行った.また,リーマン多様体上の熱核がLi-Yau評価を持つとき,シュレディンガー作用素の熱核もLi-Yau評価を持つための必要十分条件を与えた.
更に,分枝ブラウン運動や分枝対称安定過程において,容量正の閉集合に到達する粒子数の期待値が有限となるための必要十分条件も同様の条件で与えられることを示し,特異な分枝レートを持つ多くの具体的な例でその判定条件を検証した.

researchmap

配分額：1700000円 （ 直接経費：1700000円 ）

解析学を基礎付ける土台としてHilbertが導入した2階算術には,様々な種類の形式化が存在する.なかでも計算可能な関数や集合を扱う体系RCA_0と,それにコンパクト性の議論を付加した体系WKL_0は,解析学の基礎として十分な強さを持ちながら,無矛盾性に関してはPRA(「有限の立場」の形式化)と同等になることから,Hilbertのプログラムに関連して重要な意義をもつ.田中と山崎は,S.Simpsonの協力の下で、WKL_0におけるある形の定理に対して,その証明からコンパクト性の議論を取り除けること,すなわちRCA_0における証明に変換できることを証明する一方,コンパクト性と類似する有界従属選択公理に対しては,その使用を一斉には消去できないことを示した.そこで,いくつかの定理について個別に有界従属選択の消去可能性を議論し,その背後にある一般的な原理を探った.たとえば,実数や複素数に関する命題の多くは,量化記号消去定理を用いて充足関係を導入することで有界従属選択の使用を避けることができることがわかった.Simpson-田中-山崎の結果は,WKL_0の高階算術化が難しいことを意味しており,この状況を厳密に調べる研究の一つが山崎と坂本伸幸によってなされた.すなわち,WKL_0等の高階一様版はWKL_0より真に強い原理になる.また,山崎は,多項式時間計算の体系における逆数学現象や,直観主義理論の完全性定理に必要となる公理についても調べた.赤間は,部分組合せ代数の中に極限操作を導入し,そこで表現できる関数とlimiting recursive functionとの関係を調べた.
最後に,田中は,超算術的選択公理HACに対して,13種類のバリエーションを定義し,それぞれと同値な公理を決定した.

researchmap

配分額：11900000円 （ 直接経費：11900000円 ）

1.線形ガウス型ファクターモデルおよび一般的なファクターモデルのリスク鋭感的ポートフォリオ最適化問題について、無限時間範囲の場合の問題を考察した。エルゴード型ベルマン方程式の解の存在を示し、その解から最適戦略を明示的に構成する結果を得た。線形線形ガウス型ファクターモデルの場合には証券価格の過去の情報のみを用いる部分情報の場合についても、最適戦略を明示的に構成する結果を得た。
2.証券価格の過去の情報のみを用いてポートフォリオを構成する部分情報下の問題に関して、有限時間範囲の場合に最適戦略の満たすべき必要条件を逆向き確率偏微分方程式を用いて最大値原理の形で求めた。
3.同じく部分情報下の問題で、条件付ガウス型の場合に係数が退化したベルマン方程式の解により最適戦略が明示的に構成できることを示した。
4.Wiener空間上のシュレーディンガー作用素の最低固有値の準古典的振舞が有限次元のときと同様にとらえられることを示した。同様なアイデアを用いることにより、リーマン多様体上の(Pinnedされない)道の空間上の作用素の最低固有値についても荒い下からの評価が成立することを示した。また、リー群上のpinnedされた道の空間上での準古典的極限を考えることにより、奇数次元の調和形式の消滅が示唆されることを示した。
5.曲率が遠方で十分早く減衰するようなリーマン多様体上で熱核の対数微分の評価を研究し、道の空間上で対数ソボレフ不等式を示した。また、Brownian rough pathと弱ポアンカレ不等式の関連を研究した。
6.数理ファイナンスに於ける最適化問題:指数ヘッジ問題について研究した。特に小さなパラメータεが存在している状況で後退確率微分方程式のパラメータに関する漸近展開を計算し、最適解/制御の漸近展開式を得た。
7.数理ファイナンスに現れる幾つかの非線形偏微分方程式の解の微分可能性を高める事によって最適制御(ポートフォリオ)を構成した。
8.数理ファイナンスにおける最適化問題を凸双対法を用いて解くことに興味を持ち、部分情報下への適用、ポートフォリオデルタに制限を加えた中での優複製法などの研究を行ない、既存の結果を拡張した。
9.位相的に同値な汎関数の最小化問題の最小元の特異極限の満たすオイラー方程式を導き、粘性解の存在と一意性を得た。また、一階微分に関してsuperlinearな増大度を持った完全非線形一様楕円型方程式のL_p粘性解のヘルダー連続評価を得た。
10.壁上の界面モデルの流体力学極限を論じ,発展的変分不等式を導出した。またピンニングのある界面モデルの平衡系に対し大偏差原理を示すことによりAlt-Caffarelliの変分問題を導いた。

researchmap

配分額：1700000円 （ 直接経費：1700000円 ）

確率的外力項(stochastic forcing term)を持つKorteweg-de Vries方程式は,雑音のかかったプラズマ中を通過するイオン音波ソリトンを記述するなど,様々な分野で数理物理的モデル方程式として用いられている重要な方程式である.昨年度は周期境界条件の下で,Besov型のBourgain空間を用いて,時間変数に対してはホワイトノイズであり,空間変数に関してはホワイトノイズにかなり近い確率項を持つ場合の初期値問題を考え,解の一意存在を証明した.しかし,扱える確率摂動項とホワイトノイズの間には,必ずしも小さいとは言えないギャップがあった.
今年度は,Besov型のBourgain空間の定義において,2進分解の取り方を変更することにより,新しい不等式を証明することに成功した.この不等式は,通常よく使われている2進分解から定義されるBesov型Bourgain空間では成立しないと思われ,調和解析的にも興味深いものである.今回この不等式を用い,時間変数についてはホワイトであり,空間変数についてはホワイトにいくらでも近い確率摂動項に対し,初期値問題の強い解の一意存在定理を証明した.
時間変数と空間変数の両方についてホワイトである確率項を扱うことは,依然未解決問題であり今後の課題であろう.しかし,コンピュータによる数値シミュレーションは普通強い解を計算することから,ホワイトノイズにいくらでも近いノイズに対し,強い解を扱うことが可能な数学的定理を証明できたことは,数値シミュレーションを理論的に補強する際に応用できるのではないかと期待される.

researchmap

配分額：3200000円 （ 直接経費：3200000円 ）

本研究の主自的は、時間と共に変動する領域における拡散過程の構成およびその性質を調べることにあった。その際、領域の形状のみならず、生成作用素も変動を許すとする。もっとも典型的な過程は、境界で吸収あるいは反射する拡散過程である。その際、境界の形状が各時点で変わるため、困難が生じる。本研究においては、時間に依存するディリクレ形式の理論を整備し、変動する領域上の拡散過程を構成しその性質を求める方法を用いた。基本的な設定は以下の通りである。領域の変動は、決まった領域の、時間に依存する関数による写像となっている場合を考えた。また、微分生成作用素自身も時間変動を許すと考える。構成の方針は、まず動かない領域における拡散過程を構成する。その構成には、時間に依存するディリクレ形式の一般論が適用できる。その後、その過程を領域間の写像により写すことにより、目的の過程が得られると考えられる。その際、時間的に変動する面積要素を通した変換を受けるため、射影した過程が目的のものであることを調べるため、時間に依存するギルサノフ型の変換公式を含む確率解析が必要となる。このような確率解析については、細切れに散見されるが、系統的には明らかではなかった。本研究の拠り所となるこの様な確率解析については、詳細に整理した結果を発表の予定である。重要な場合として反射壁拡散過程を考える。この場合、境界の形状が時間と共に変動するため、その境界における局所時間あるいは境界における法線方向がどのようなものであるかも明らかではない。本研究においては、領域間の写像を用いることにより、これらを定義し、その境界における局所時間を構成した。さらに、その局所時間を用いてSkorohod型表現定理を求めることが出来た。求められた拡散過程には種々の応用が考えられる。その1つとして、時間的に変動する拡散過程の最適停止問題および関連する確率制御問題がある。時間的に一様でない設定では、半極集合の存在のため、最適停止時間の特徴付けは困難である。これについて、その特徴付けを与える事が出来る。さらにこれを発展させることが出来ると考えている。

researchmap

配分額：2900000円 （ 直接経費：2900000円 ）

一意化定理によるとコンパクトでない単連結曲面上の複素構造は、複素平面と同値か或いは複素平面内の単位円板と同値である。確率論的には、ブラウン運動を考えたとき、その領域で再帰的になるか非再帰的になるかに対応する。さて複素平面上の非再帰的な複素構造についてはベルトラミ係数のsupノルムは必ず1になってしまう。しかしながらベルトラミ係数のsupノルムが1なら必ず非再帰的かというとそうではない。本研究ではそのような複素構造の族を研究対象としていた。12年度、13年度までの研究で、ある複素構造の1径数族については臨界点があり、そこで複素構造の再帰性・非再帰性が変化することが判明している。解析するモデルは、平面内の単位円板とその境界を動く複素変数をパラメータにもつ複素構造の族で、ちょうどパラメータの絶対値が対応するベルトラミ係数のsupノルムに一致している。パラメータが単位円板の内部にあるときは、複素構造は複素平面の自然な構造と同値である。パラメータが境界たる円周上にあるときは、ただ一点の例外を除いて、対応する複素構造は非再帰的、即ち単位円板の複素構造と同値である。14年度の研究ではこの臨界点においては、複素構造は再帰的だが、それを保存するような変形の自由度はかなり低くなっていることが分かりつつある。従ってこのような1径数族の具体例できるだけ多く探し、更にそのような1径数族の特徴付けを明らかにすることが今後の課題となる。それを見通しよく整理するためには、モデュラー群の作用を解析することにより変形の自由度を規定するという方向ができあがっている。

researchmap

配分額：2700000円 （ 直接経費：2700000円 ）

ファインマンーカッツ汎関数のブラウン運動ないしは条件付きブラウン運動に対する可積分性は、それぞれgaugeability、conditional gaugeabilityと呼ばれ、シュレディンガー作用素のsubcriticality、すなわち、正値グリーン関数の存在や正値解の存在とも関連する問題であり、ポテンシャルが無い場合にはマルコフ過程の再帰性、非再帰性の判定と同値な興味深い問題でもある。本研究では、グリーンタイトと呼ばれる条件を満たす加藤クラスのポテンシャルに対して、gaugeablityとconditional gaugeabilityの必要十分条件を得た。それは、ポテンシャルに対応する加法的汎関数を使って定義されるランダムな時間変更過程を考え、その生成作用素のスペクトル下限が1より大きい事で与えられる。特に、表面測度の様な場合には、時間変更過程のスペクトル下限は、局所時間の中にランダムな停止時間を代入して得られるウィナー汎関数の期待値とそのディリクレ積分を計算する事で求められる。従来からその様なウィナー汎関数の積分計算に関しては多くの結果が知られており、それを応用してgaugeabilityの必要十分条件を与えることのできる興味深い例を構成した。ドリフトのついた場合やベッセル過程、さらには対称安定過程の場合にも拡張した。さらに、subcriticalityの必要十分条件の応用として、スペクトル関数の微分可能性について調べ、加藤測度に対応するブラウン運動の加法的汎関数に対して大偏差原理を示した。

researchmap

配分額：29200000円 （ 直接経費：26200000円 、 間接経費：3000000円 ）

本研究は代表者を含め計25名の分担者を中心に確率論およびその関連分野の多くの研究者の全面的な協力を得て遂行された。3年間の研究期間中に27回の研究集会を開催し、21名の外国人研究者を招聘聰した。研究成果はきわめて広範囲にわたるが、特に
1.確率論の基礎埋論に関するものとして、逆正弦法則の1次元拡散過程への拡張、種々の空間上のブラウン運動・熱核・グリーン関数の性質、マルコフ過程とディリクレ形式、無限次元確率解析、停留位相法と漸近理論などを論じ、
2.確率論の応用として、相転移の下での相分離界面の解析・自由境界問題の導出・相互作用ブラウン剛体球系の運動・パーコレーションクラスターのスケーリング極限・ランダム行列・フラクタル空間上の確率過程などの数理物理学と関連する分野、リスク鋭感的確率制御問題、ψ-混合的確率変数列に対する大数の法則などのエルゴード理論、確率微分方程式や非線形拡散方程式に対する数値解析、数理統計学における漸近展開およびマリアヴァン解析の応用、多様体の崩壊などの微分幾何学に関係する問題等
において数多くの成果が得られた。ここでは個々の成果について具体的に述べることはスペースの関係上できないが、別冊の研究成果報告書で詳細な報告を行っている。本研究では、上述のように多数の外国人研究者を招聘し交流を深めた。それは今後の確率論研究の発展を考える上で大変意義深いことであったと考えている。

researchmap

配分額：5200000円 （ 直接経費：5200000円 ）

1.リスク鋭感的確率制御問題では、値関数が常に有限値をとるとは限らず、それが発散しないための条件、すなわち、問題が崩壊しないための条件を知ることが、まず重要となる。時間有限範囲の場合に、この条件をリスク鋭感的パラメーターの大きさに関する条件として求め、その条件の下で対応するベルマン方程式の可解性を変分法を用いて示した。ここで求めた条件はリスク鋭感的パラメーターが大きい場合にも適用可能なもので、そのため、応用上の意味が大きいと思われる。また、時間無限範囲の場合に、対応するエルゴード型ベルマン方程式に関して同様の条件のもとで、解の存在および一意性を、シュレーディンガー作用素の固有値問題と関連付けることにより示した。さらに、ベルマン方程式の特異極限として、非線形H無限大制御のゲーム論的接近に関連する1階の偏微分方程式を導いた。
2.リスク鋭感的確率制御の数理ファイナンスへの応用として、ファクターモデルに対するポートフォリオ最適化問題を考察し、部分情報しか得られない場合に最適ポートフォリオを明示的に与える結果を得た。また、時間無限範囲の場合を考察し、対応するエルゴード型ベルマン方程式の解が最適ポートフォリオを与えるための条件を求め、最適ポートフォリオを構成した。この考察に際し、その解が無条件には最適ポートフォリオを与えないことがあるという認識を得た。
3.対数ソボレフ不等式を用いたシュレーディンガー作用素のスペクトルギャップの存在を示しその評価を与えた。
4.加藤クラスの測度に対応するブラウン運動の加法的汎関数に対して、大偏差原理が成立することを証明した。その応用として、加法的汎関数がある値に指数収束するための必要十分条件を得た。
5.下に有界なポテンシャルをもつシュレーディンガー作用素に対するLpノルムおよび、トレースノルムでのトロッターの積公式と誤差評価を示した。
6.無限次元トーラス上のワイル変換から定義される対称統計量の列がトーラス上のルベーグ測度を含む数多くの確率測度の下で多重ウィーナー積分で表される極限に収束することを示した。

researchmap

配分額：2700000円 （ 直接経費：2700000円 ）

対称なマルコフ過程はある乗法的汎関数によって、常にエルゴート性を持つ対称マルコフ過程に変換される事は以前示した。その結果の著しい点は、元の対称マルコフ過程が有限の生存時間を持つ場合であっても、エルゴート性を持つマルコフ過程に変換されることである。そのため、Donsker-Varadhan型の大偏差原理を生存時間有限な対称マルコフ過程にまで拡張することが可能になった。また、大偏差原理の上からの評価が、コンパクト集合だけでなく閉集合に対しても成立するための十分条件をある解析的な条件で与えた。その応用として、対称マルコフ過程の半群をL^p-空間でみたときのスペクトル半径がpに依らないためのある一般的な十分条件を得た。
加藤クラスと呼ばれる測度に対応する加法的汎関数からブラウン運動の時間変更過程が定義されるが、大偏差原理をその時間変更過程に応用することにより、ブラウン運動の全滞在時間、局所時間の挙動について調べた。さらに、その測度に無限遠点の近傍で小さいという条件を置いてやると、上で示した一般論より時間変更過程のスペクトル半径はpに依らないことが示せる。それを応用してファインマン・カッツ汎関数が可積分になるための必要十分条件も同時に与えている。
その他、フラクタル上のブラウン運動に対して大偏差原理が成立することを確認し、それを用いて重複対数の法則を証明した。

researchmap

配分額：3000000円 （ 直接経費：3000000円 ）

平成11年度は2つの研究課題に取り組んだ。
1つは、伝播速度の異なる非線形波動方程式系の初期値問題の可解性についてである。2次の非線形項を持つ非線形波動方程式の時間局所的適切性が成立する最も広い関数空間は何かという問題は、偏微分方程式論における基本的問題である。この問題は方程式の幾何学的対称性と密接に関連しており、特に波動方程式の場合はローレンツ不変性を関係していることが知られている。今回、伝播速度の異なる連立系を考えたときはローレンツ不変性が壊れることに着目し、どのような2次の非線形性のときは、伝播速度が同じ連立系よりも広い関数空間で適切性が成立するか調べた。また、この結果をプラズマ物理に現れるザハロフ方程式に適用して、小さな初期値に対してはエネルギークラスにおいて時間大域解の存在を証明した。
2つ目は、Korteweg-de Vries方程式に確率的揺乱を加えたときの、初期値問題の可解性を研究した。このような問題は、プラズマにおけるイオン音波の伝播をKorteweg-de Vries方程式で記述しようとすると現れる問題である。数学的には、時間に関して滑らかでない外力項をもつ方程式を考えなければならないという困難さがある。特に、外力が付くと一般に逆散乱法が使えず、函数解析的手法が威力を発揮する。今回、新しい非線形項に関する評価式を得ることにより、滑らかでない外力項を処理することに成功した。

researchmap

配分額：2400000円 （ 直接経費：2400000円 ）

本研究代表者による従来の研究ではリスク鋭感的確率制御問題がブレークダウンしないためのリスク鋭感的パラメーターの大きさに関する条件はかなり強い制約があり、応用上からみても条件を緩和すべき問題が残っていた。今回の本研究により強い勾配ベクトル場をずれの係数に持つ確率微分方程式で定義される制御確率過程のように、よい安定性を制御確率過程が持っている場合には、その問題がブレークダウンしないためのリスク鋭感的パラメータの大きさに関する条件が従来知られたものより大幅に緩和されることが示された。また、その条件の下で、対応するベルマン方程式の解の存在が変分法を用いて示された。一方、一般にエルゴード型ベルマン方程式は解を多数持つことが知られているが、一意性をもっている減価型方程式の解の極限として得られるものが応用上意味のあるものである。この観点から行った次のような研究を行なった。ある特別な場合に限定したとき、リスク鋭感的確率制御問題のエルゴード型ベルマン方程式の解で、減価型ベルマン方程式の解の極限として得られるものがシュレ-デインガー作用素の第一固有関数と第一固有値を使って表現されることを示した。さらにエルゴード型ベルマン方程式の特異極限を考察し、上で得られた解が極限方程式の粘性解に収束すること、並びに極限方程式の粘性解の一意性が、解の増大度(減少度)を規定する条件の下で得られることが示された。またエルゴード型ベルマン方程式の導出と大偏差原理との関連に関する新しい知見を得た。

researchmap

配分額：2400000円 （ 直接経費：2400000円 ）

マルコフ過程の汎関数の分解定理の一般化や精密化とそれらの応用を図るという目的に沿った申請書記述の研究計画・方法に従って研究を進めた結果以下の研究実績を得ることが出来た。
代表者福島は対称なマルコフ過程の加法的汎関数がマルチンゲ-ル部分とエネルギー零の部分の和に分解できるという定理(福島分解定理)が、推移確率が基礎の測度に絶対連続な場合に、容量零の除外集合を許さない形に精密化出来るための必要十分条件を与え、更にその際にエネルギー零の部分が有界変動になるための使いやすい判定条件を与えた。福島はこの一般論を応用し、滑らかでない境界を持つ領域上の反射壁拡散過程のスカラホ-ド分解が除外集合を許さない形で導いた。そしてカスプ境界点におけるヘルダー指数が1/2より大であればエネルギー零の部分が境界の局所時間により積分として表され有界変動となることを示し、またそれが1/2より大でなければ有界変動とならない例があることを最近のDeblassie-Tobyの研究と関連づけることによって明らかにした。これによってまた、反射壁拡散過程へのヂリクレ形式による接近とスカラホ-ド型の確率微分方程式による接近とは初めて同定することが出来た。
福島分解の一般論は従来対称マルコフ過程に対応するヂリクレ形式の正則性の仮定の下で定式化されていたが、その仮定を外してもマルコフ過程が右連続ならば成立することが最近のMa-Rockner等の研究で明らかになっている。分担者の竹田は優マルチンゲ-ル乗法的汎関数によって変換された必ずしも正則ヂリクレ形式が対応しないマルコフ過程の再帰性をこの一般化された分解定理を適用して示すことに成功した。

researchmap

配分額：2000000円 （ 直接経費：2000000円 ）

対称マルコフ過程の加法的汎関数の分解定理の精密化とその応用を図るという研究目的に沿った申請書の研究計画・方法に従って研究を進めた結果以下の研究業績を得ることが出来た。
代表者福島は分担者竹田および熊本大学の大島教授と共に、共著の著書(1994年発刊)において上記分解定理のみならず、その局所的な場合への拡張及び推移確率が絶対連続な場合における精密化についての基礎理論を展開している。特に精密化に関してはいくつかの十分条件が与えられているが、福島はこの一般論を徹底して進め、加法的汎関数u(X_t)-u(X_o)のマルチンゲ-ル部分M_tとエネルギー零の部分N_tとの和としてのstrictな分解が成立するための関数uに対する必要十分条件やN_tが有界変動になるためのuに対する必要十分条件を求めることに成功し、更にN_tのstrictな意味での台とuのスペクトルの関係を明らかにした。福島はこの一般論を山口大学の富崎教授と共同で応用して境界がヘルダー連続性しか持たないR^d上の領域に対し、ヘルダー指数がd/(d-1)より大きい時にはその領域上の反射壁ブラウン運動はスカラホ-ド分解を許容することを証明した。実はdの如何にかかわらずヘルダー指数が1/2より大きいときにこれは正しいという予想を持ち目下その証明に取り組んでいる。
分担者竹田は上記共著の著書で展開された対称マルコフ過程の乗法的汎関数による変換とデイリクレ形式の変換の関係に関する基礎理論の発展に取り組んでいる。特に上述の加法的汎関数の分解定理の精密化を用いることによって優マルチンゲ-ル的な乗法的汎関数による変換論の精密化に成功している。
また尾角は数理物理的な可解格子模型にたいして、稲垣、谷口、安芸は統計的モデルに対してそれぞれ汎関数の分解定理の有効性を示す研究を着実に進めた。

researchmap

配分額：18500000円 （ 直接経費：18500000円 ）

平成5年度からの2年間にわたり、「確率論の総合的研究」をテーマに確率論およびその関連領域における諸問題に取組み、研究分担者および日本数学会確率論部門の多くの研究者の協力を得て共同研究を遂行した。まず近代確率論研究の基礎である確率解析の理論の深化を目指した2つのシンポジューム「Wiener空間上の解析学」、「確率解析」を組織した。ここでは伊藤清、福島正俊により創始された「確率解析」「Dirichlet空間の理論」の新しい展開をめざす先駆的な研究成果が数多く生み出した。また解析学・幾何学に関連する話題を中心とした「マルコフ過程に関連した解析学」「多様体上の確率解析および大偏差原理」と題するシンポジュームを解析学・幾何学の研究者を招いて開催し、そこでの討論をもとに新しい方向の研究が生まれた。物理学・生物学などの自然科学への確率解析の応用をめざして、「数理物理、数理生物における確率解析」「フラクタルとその周辺」「無限粒子系、流体力学極限とその周辺」と題するシンポジュームを開催し、物理学や生物学の研究者との研究交流で新しい諸問題を発掘した。さらに、制御理論を中心とする工学、最近注目されつつあるファイナンス理論などの数理経済学、さらには社会学への数理的アプローチにも確率解析の手法が有効であり、それらに関する諸問題を議論するためのシンポジュームとして「確率論と中心とした数理モデルの理論と実際」「確率解析の応用」を開催した。そのほかにも確率論全般にわたる最新の結果を発表・討論する場として「サマースクール」「Gauss過程,安定過程とその応用」「確率過程とその周辺」「エルゴード理論とその周辺」などの研究集会を開催し多大の成果をあげた。その成果についての詳細は研究成果報告書として出版した。

researchmap

配分額：1900000円 （ 直接経費：1900000円 ）

確率諸過程の関数解析的研究という目的に沿った申請書記述の研究計画・方法に従って研究を進めた結果以下の研究実績を得ることが出来た。
代表者福島は正則Dirichlet形式にHunt過程を容量0の集合を除いて一意的に構成するという20年前の方法を拡張して、(r,p)-容量0というもっと精細な集合を除いての構成をある擬微分作用素の族に対して実行した。福島と分担者竹田は熊本大学の大島洋一氏との平成5年出版予定の共著の著書に於いてDirichlet形式とマルコフ過程の関係についての基礎理論を更に充実させ、特にextended Dirichlet spaceの理論、マルコフ過程のtime changeとの対応理論、対称作用素のマルコフ拡大の理論をほぼ完成させて載せることができた。
福島と分担者島はSierpiski gasketという代表的なフラクタル集合上で最近導入されたラプラス作用素に対してその固有値、スペクトルを精細に調べいくつかの通常と異なるwildな性質を発見した。更により一般なフラクタル集合であるnested fractal上のラプラス作用素に対してもそのスペクトル分布関数の原点の近くでの増大度にフラクタルのスペクトル次元と呼ばれる量が関係していることを福島が見いだし、島はランダムなポテンシャルを持つ対応するシュレージンガー作用素についてもそのスペクトル分布関数のLifchitz tailとしてやはりフラクタル次元が現れることを発見した。これらの研究に於いてDirichlet形式論が極めて有効な働きをすることが確認され今やそれはフラクタル集合上の解析学や拡散過程の研究に欠かせない枠組みとなっている。
また伊達は数理物理学的な可解格子模型に対して、谷口、安芸は統計学的モデルに対して、それぞれ2次形式やエネルギー概念の有効性を示す研究を着実に押し進めた。

researchmap

配分額：900000円 （ 直接経費：900000円 ）

researchmap

配分額：700000円 （ 直接経費：700000円 ）

researchmap

配分額：800000円 （ 直接経費：800000円 ）

放物型方程式の初期値問題の基本解が助変数の付いた擬微分作用素として構成される事はすでに明らかになっている。二階放物型混合問題の基本解の構成について同様の事を目ざした。この場合には、擬微分作用素として構成するのは無理であって、ある種の積分作用素を使って構成する事をめざした。その積分作用素は擬微分作用素の表象のcalculusと類似の性質を持つものであり、その結果形式的な表象の計算によって、基本解の漸近形が求められる。
本年度計画されていたディレクレ問題、ノイマン問題、第3種、斜交微分及び特異境界値問題について、上記の基本階の構成ができたので、論文としてまとめる予定である。基本解の漸近形を固有値の漸近挙動に応用できて、第3種、斜交微分及び特異境界値問題については、固有値分布について新しい結果が得られた。以後、漸近挙動の計算方法が明らかになったので、幾何学的意味付けを考察する事が残っている。
万一ノイマン問題、より一般の退化した放物型混合問題の基本解の構成については、以前研究していた退化した放物型初期値問題の基本解の構成が応用できると考えられる。これについては、より精密な積分作用素のクラスを考える必要がある事が明らかになった。
退化して放物型混合問題の基本解の構成とその漸近挙動への応用が残った問題である。さらに、関数解析的手法による発展作用素の構成との関係、さらに確率論的手法による基本解の構成との関係を調べる。万一ノイマン問題については関数論への応用についても探りたい。

researchmap

配分額：800000円 （ 直接経費：800000円 ）

制御系の状態が簡単な確率過程にしたがって変化する適応型のゲ-ムとして、互に対立する相手プレ-ヤの行動に関する情報様式がある確率法則にしたがって、観測不可能な状態から可能な状態へ移行したり、逆に可能な状態から不可能な状態へ移行する。2人非0和タイミング・ゲ-ムを研究することから出発した。このモデルは、経営における新製品開発の最適時節の決定や飛行機における座席の各クラスへの最適配分、生物学における2種生物のナワバリ占有競争への最適努力持続時間の決定等、から抽出されたものである。このゲ-ムに対して、積分方程式論で開発された方法や定常確率過程で得られた結果を利用することにより、かなり広範囲なクラスの精度関数を持つ場合のナッシュの平衡戦略を厳密解の形で導くことに成功し、いくつかの数値例も与えた。
次いで、生物進化過程の理論的説明づけから抽出されたモデルとして、1つのナワバリを複占する2種の生物間の競争を適応型のゲ-ムとして提案し、時間の推移を考えない静的有限ゲ-ムと時間の推移を考えに入れた動的無限ゲ-ムを合わせた形で定式化し、条件やパラメ-タをより一般的な形に残したままで解析した。非0和双行列ゲ-ムの理論からの結果および微分方程式論からの結果を応用することでナッシュ平衡戦略を導くことに成功し、この結果生物進化学における進化的に安定な戦略の数学的意味を考察することにも成功した。
その他、確率系の研究として、対称拡散過程へのマルチンゲ-ルの方法に関する研究、ドンスカ-・バラダハンのエントロピ-の応用に関する研究、微分方程式に関連して、係数が無限回微分可能なセミグル-プの生成作用素となっている放物型発展方程式の研究も行ない、各専門誌や研究集会で発表することもできた。

researchmap

配分額：700000円 （ 直接経費：700000円 ）

Banach空間Xに作用する一つの閉線形作用素Aについて、Aのスペクトル集合σ(A)の近傍で有界かつ正則なすべての関数fに対して、自然な方法により、fのAでの値f(A)がXの有界作用素として定義されるとき、この対応f→f(A)をAのH^∞関数計算という。Banach空間XがL^p(1<p<∞)空間で、Aのスペクトル集合σ(A)がある角領域Sに含まれている場合について次のような成果が得られた。AについてのH^∞関数計算が存在することと、Aに対する2乗積分の形をしたgー関数g(ψ)=S_Γ1A^<1/2>(λ-A)^<-1>|^2ψ|^2dλ、ΓはSの外を走る積分路、ψ〓L^p、に対して、評価式||g(ψ)||L^p【less than or equal】C||ψ||L^pが成立することとは同値であることが示された。これは、Hilbert空間の場合の同様な結果の、L^p空間への拡張である。次に、AがH^∞関数計算を持てば、Aの純虚数巾A^<2^^〜y>(-∞<y<∞)はXの有界作用素であることが分かる。Hilbert空間では、この逆、すなわちA^<2^^〜y>が有界作用素になれば、AはH^∞関数計算をもつことが示された。しかし、このことは、L^p空間ではもはや成立しないことが明らかになった。また、AがH^∞関数計算をもてば、Aの分数巾A^θ(0<θ<1)と、Aの定義域D(A)とXの補間空間に関して、D(A^θ)=[X,D(A)]_<1-θ>がすべての0<θ<1について成立することが示された。Hilbert空間ではこの逆も成立したが、L^p空間の場合では、成立するかどうか分からなかった。偏微分方程式への応用に関しては、係数が十分滑らかな楕円型微分作用素から定まる線形作用素は、L^p空間で、H^∞何数計算をもつことが分かった。イタリアの数学者達により、H^∞関数計算をもつような解析的半群の生成作用素Aについて、発展方程式du/dt+Au=ψ(t)はL^p(O,T;X)でMaximal Regularityをもつことが報告された。

researchmap