所属
システム理工学部 教授
職名
教授
連絡先
外部リンク
ヤナガワ コウジ
柳川 浩二
YANAGAWA,Kohji
学位
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博士(理学) （ 1996年3月 ）
研究キーワード
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組合せ論
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可換環論
研究分野
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自然科学一般 / 代数学
学歴
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名古屋大学 理学研究科 数学
- 1996年
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名古屋大学 理学部 数学
- 1991年
国名： 日本国
-
名古屋大学 理学研究科 数学
1996年
国名： 日本国
経歴
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1996-1997 新潟大学 助手 1997-2007 大阪大学 助手2007- 関西大学准教授
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1996-1997 新潟大学 助手1997-2007 大阪大学 助手2007- 関西大学准教授
所属学協会
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日本数学会
論文
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Arithmetic on $q$-deformed rational numbers 査読
Takeyoshi Kogiso, Kengo Miyamoto, Xin Ren, Michihisa Wakui, Kohji Yanagawa
Arnold Mathematical Journal 011 ( 003 ) 42 - 92 2025年10月
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Elementary construction of the minimal free resolution of the Specht ideal of shape (n − d,d) 査読
SHIBATA, Kosuke, YANAGAWA, Kohji
Journal of Algebra Vol 634, no. 15, pp. 563-584 563 - 584 2023年11月
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Gröbner Bases of Radical Li–Li Type Ideals Associated with Partitions 査読
REN, Xin, YANAGAWA, Kohji
SIAM Journal on Discrete Mathematics Vol. 37, No. 4, ( 4 ) 2382 - 2396 2023年10月
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Elementary construction of minimal free resolutions of the Specht ideals of shapes (n−2,2) and (d,d,1) 査読
Shibata, Kosuke, Yanagawa, Kohji
Journal of Algebra and Its Applications Vol. 22, No. 9 2350199 2023年9月
-
A note on the reducedness and Gröbner bases of Specht ideals 査読
MURAI, Satoshi, OHSUGI, Hidefumi, YANAGAWA, Kohji
Communications in Algebra Vol. 50,pp. 5430-5434 ( 12 ) 5430 - 5434 2022年12月
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Graded Cohen–Macaulay Domains and Lattice Polytopes with Short h-Vector 査読
Katthän, Lukas, Yanagawa, Kohji
Discrete & Computational Geometry Volume 68, issue 2, pp. 608–617 2022年9月
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Regularity of Cohen-Macaulay Specht ideals 査読
SHIBATA, Kosuke, YANAGAWA, Kohji
Journal of Algebra Vol. 582, Pages 73-87 73 - 87 2021年9月
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When is a Specht ideal Cohen–Macaulay? 査読
YANAGAWA,Kohji
Journal of Commutative Algebra Volume 13 , No. 4, 589–608 2021年
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Alexander duality for the alternative polarizations of strongly stable ideals 査読
SHIBATA, Kosuke, YANAGAWA,Kohji
Communications in Algebra Vol. 48, pp. 3011-3030 2020年7月
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Vandermonde determinantal ideals 査読
WATANABE, Junzo, YANAGAWA, Kohji
Mathematica Scandinavica Vol 125, No 2, pp.179-184 2019年10月
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LYUBEZNIK NUMBERS OF LOCAL RINGS AND LINEAR STRANDS OF GRADED IDEALS 査読
ÀLVAREZ MONTANER, Josep, YANAGAWA,Kohji
Nagoya Mathematical Journal Volume 231,pp. 23-54 2018年9月
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The Cohen–Macaulayness of the bounded complex of an affine oriented matroid 査読
OKAZAKI, Ryota, YANAGAWA,Kohji
Journal of Combinatorial Theory, Series A 157 1 - 27 2018年7月
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Non-level semi-standard graded Cohen–Macaulay domain with h-vector (h_0,h_1,h_2) 査読
Higashitani, Akihiro, YANAGAWA, Kohji
Journal of Pure and Applied Algebra 222 ( 1 ) 191 - 201 2018年1月
-
A canonical module characterization of Serre’s (R1) 査読
Katthän, Lukas, YANAGAWA, Kohji
Communications in Algebra 45 ( 2 ) 600 - 605 2017年
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Properties of Lyubeznik numbers under localization and polarization 査読
Arindam Banerjee, Luis Nunez-Betancourt, Kohji Yanagawa
JOURNAL OF PURE AND APPLIED ALGEBRA 219 ( 11 ) 4872 - 4888 2015年11月
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Dualizing complexes of seminormal affine semigroup rings and toric face rings 査読
Kohji Yanagawa
JOURNAL OF ALGEBRA 425 367 - 391 2015年3月
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On CW complexes supporting Eliahou-Kervaire type resolutions of Borel fixed ideals 査読
Ryota Okazaki, Kohji Yanagawa
COLLECTANEA MATHEMATICA 66 ( 1 ) 125 - 147 2015年1月
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Squarefree P-modules and the cd-index 査読
Satoshi Murai, Kohji Yanagawa
ADVANCES IN MATHEMATICS 265 241 - 279 2014年11月
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Addendum to “Frobenius and Cartier algebras of Stanley–Reisner rings” [J. Algebra 358 (2012) 162–177] 査読
YANAGAWA Kohji, J. Àlvarez Montaner
Journal of Algebra 414 300 - 304 2014年9月
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Alternative polarizations of Borel fixed ideals, Eliahou–Kervaire type resolution and discrete Morse theory 査読
OKAZAKI Ryota, YANAGAWA Kohji
Journal of Algebraic Combinatorics 38 ( 2 ) 407 - 436 2013年9月
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ALTERNATIVE POLARIZATIONS OF BOREL FIXED IDEALS 査読
Kohji Yanagawa
NAGOYA MATHEMATICAL JOURNAL 207 79 - 93 2012年9月
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SLIDING FUNCTOR AND POLARIZATION FUNCTOR FOR MULTIGRADED MODULES 査読
Kohji Yanagawa
COMMUNICATIONS IN ALGEBRA 40 ( 3 ) 1151 - 1166 2012年
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HIGHER COHEN-MACAULAY PROPERTY OF SQUAREFREE MODULES AND SIMPLICIAL POSETS 査読
Kohji Yanagawa
PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY 139 ( 9 ) 3057 - 3066 2011年9月
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Dualizing complex of the face ring of a simplicial poset 査読
Kohji Yanagawa
JOURNAL OF PURE AND APPLIED ALGEBRA 215 ( 9 ) 2231 - 2241 2011年9月
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Alexander duality and Stanley depth of multigraded modules 査読
Ryota Okazaki, Kohji Yanagawa
JOURNAL OF ALGEBRA 340 ( 1 ) 35 - 52 2011年8月
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DUALIZING COMPLEX OF A TORIC FACE RING 査読
Ryota Okazaki, Kohji Yanagawa
NAGOYA MATHEMATICAL JOURNAL 196 87 - 116 2009年12月
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LINEARITY DEFECT AND REGULARITY OVER A KOSZUL ALGEBRA 査読
Kohji Yanagawa
MATHEMATICA SCANDINAVICA 104 ( 2 ) 205 - 220 2009年
-
Notes on C-graded modules over an affine semigroup ring K[C] 査読
Kohji Yanagawa
COMMUNICATIONS IN ALGEBRA 36 ( 8 ) 3122 - 3146 2008年
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Linearity defects of face rings 査読
Ryota Okazaki, Kohji Yanagawa
JOURNAL OF ALGEBRA 314 ( 1 ) 362 - 382 2007年8月
-
BGG correspondence and Römer's theorem on an exterior algebra 査読
YANAGAWA Kohj
Algebras and Representation Theory 9 ( 6 ) 569 - 579 2006年12月
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Castelnuovo-Mumford regularity for complexes and weakly Koszul modules 査読
Kohji Yanagawa
JOURNAL OF PURE AND APPLIED ALGEBRA 207 ( 1 ) 77 - 97 2006年9月
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Dualizing complex of the incidence algebra of a finite regular cell complex 査読
YANAGAWA Kohji
Illinois Journal of Mathematics Vol.49, no.4, pp.1221--1243. 2005年
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Derived category of squarefree modules and local cohomology with monomial ideal support 査読
K Yanagawa
JOURNAL OF THE MATHEMATICAL SOCIETY OF JAPAN 56 ( 1 ) 289 - 308 2004年1月
-
Stanley-Reisner rings, sheaves, and Poincaré-Verdier duality 査読
YANAGAWA Kohji
Mathematical Research Letters 10 ( 5-6 ) 635 - 650 2003年9月
-
Local cohomology of Stanley-Reisner rings with supports in general monomial ideals 査読
Reiner, V, Welker, V, K Yanagawa
JOURNAL OF ALGEBRA 244 ( 2 ) 706 - 736 2001年10月
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Bass numbers of local cohomology modules with supports in monomial ideals 査読
K Yanagawa
MATHEMATICAL PROCEEDINGS OF THE CAMBRIDGE PHILOSOPHICAL SOCIETY 131 45 - 60 2001年7月
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Sheaves on finite posets and modules over normal semigroup rings 査読
K Yanagawa
JOURNAL OF PURE AND APPLIED ALGEBRA 161 ( 3 ) 341 - 366 2001年7月
-
Generic and cogeneric monomial ideals 査読
E Miller, B Sturmfels, K Yanagawa
JOURNAL OF SYMBOLIC COMPUTATION 29 ( 4-5 ) 691 - 708 2000年4月
-
Alexander duality for Stanley-Reisner rings and squarefree N-n-graded modules 査読
K Yanagawa
JOURNAL OF ALGEBRA 225 ( 2 ) 630 - 645 2000年3月
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F_Δ type free resolutions of monomial ideals 査読
YANAGAWA Kohji
Proceedings of the American Mathematical Society 127 ( 2 ) 377 - 383 1999年2月
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Squarefree modules and local cohomology modules at monomial ideals 招待 査読
K Yanagawa
LOCAL COHOMOLOGY AND ITS APPLICATIONS 226 207 - 231 1999年
-
Associated primes and arithmetic degrees 査読
C Miyazaki, W Vogel, K Yanagawa
JOURNAL OF ALGEBRA 192 ( 1 ) 166 - 182 1997年6月
-
On the regularities of arithmetically Buchsbaum curves 査読
Kohji Yanagawa
Mathematische Zeitschrift 226 ( 1 ) 155 - 163 1997年
-
A characterization of integral curves with Gorenstein hyperplane sections 査読
K Yanagawa
PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY 124 ( 5 ) 1379 - 1384 1996年5月
-
Castelnuovo's lemma and h-vectors of Cohen-Macaulay homogeneous domains 査読
K Yanagawa
JOURNAL OF PURE AND APPLIED ALGEBRA 105 ( 1 ) 107 - 116 1995年11月
-
SOME GENERALIZATIONS OF CASTELNUOVO LEMMA ON ZERO-DIMENSIONAL SCHEMES 査読
K YANAGAWA
JOURNAL OF ALGEBRA 170 ( 2 ) 429 - 439 1994年12月
講演・口頭発表等
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Transposes in the q-deformed modular group and their applications to q-deformed rational numbers
任 鑫, 柳川 浩二
日本数学会2025年度秋季総合分科会 2025年9月
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単体的ポセットの組合せ論的可換代数 招待
柳川 浩二
第29回代数学若手研究会 2025年3月
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Arithmetic and combinatorics on q-deformed rationals 招待
柳川浩二
可換環論と射影代数幾何学2024 2024年12月
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Local cohomology modules at ideals associated with simplicial posets
柳川浩二
RIMS 共同研究（公開型） 『第45回可換環論シンポジウム』 2024年11月
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Lyubeznik numbers of Stanley-Reisner ideals, and more... 招待
柳川浩二
空間の代数的・幾何的モデルとその周辺 2024年8月
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Gr¨obner bases of radical Li–Li type ideals associated with partitions
任 鑫, 柳川 浩二
日本数学会2023年度秋季総合分科会 2023年9月
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Regularity of Cohen-Macaulay Specht ideals
柴田 孝祐, 柳川 浩二
第41回可換環論シンポジウム 2019年11月
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Squarefree 加群とその応用, I, II
柳川 浩二
組合せ論と可換代数オータムセミナー 2019年9月
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Specht ideal による剰余環の Cohen-Macaulay 性 招待
柳川 浩二
東京可換環論セミナー 2019年4月
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When is a Specht ideal Cohen-Macaulay?
YANAGAWA,Kohji
1147th AMS Meeting, Spring Central and Western Joint Sectional Meeting, Special Session on Commutative Algebra and its Environs, 2019年3月
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Strongly stable ideal の既約分解と局所コホモロジーの関係
柴田 孝祐, 柳川 浩二
日本数学会 2019年度年会 代数学分科会 2019年3月
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Strongly stable ideal のalternative polarization とそのAlexander 双対 について
柴田 孝祐, 柳川 浩二
日本数学会 秋季総合分科会 代数学分科会 2018年9月
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Homological methods in combinatorial commutative algebra I, II
柳川 浩二
第51回環論および表現論シンポジウム 2018年9月
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Stanley-Reisner 環の理論におけるホモロジカルな手法, I,II
柳川 浩二
第８回 (非)可換代数とトポロジー 2018年2月
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When is a Specht ideal Cohen-Macaulay?
柳川 浩二
第39回可換環論シンポジウム 2017年11月
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When is a Specht ideal Cohen-Macaulay?
YANAGAWA,Kohji
PRIMA(Pacific Rim Mathematical Association ) third congress 2017年8月
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Non-level semi-standard graded Cohen-Macaulay domains with h-vectors (h_0, h_1, h_2)
東谷 章弘, 柳川 浩二
第38回可換環論シンポジウム 2016年11月
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Non-level semi-standard graded Cohen-Macaulay domains with h-vectors (h_0, h_1, h_2)
東谷 章弘, 柳川 浩二
日本数学会 秋季総合分科会 代数学分科会 2016年9月
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Lyubeznik numbers of local rings and linear strands of graded ideals
YANAGAWA,Kohji
International Conference and 8th Japan-Vietnam joint Seminar on Commutative Algebra 2016年3月
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The Cohen-Macaulayness of the bounded complex of an affine oriented matroid
岡崎 亮太, 柳川 浩二
第37回可換環論シンポジウム 2015年11月
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アフィン有向マトロイドのbounded complex のCohen-Macaulay 性とマトロイド・イデアルのCohen-Macaulay性
岡崎 亮太, 柳川 浩二
日本数学会 秋季総合分科会 代数学分科会 2015年9月
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The Cohen-Macaulayness of the bounded complex of an affine oriented matroid
柳川 浩二
Mini seminar on Combinatorics and Commutative Algebra 2015年8月
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Serre の(R1) 条件の標準加群による特徴づけ
柳川 浩二
第7回岡山可換代数表現セミナー 2015年6月
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Lyubeznik numbers of local rings and linear strands of graded ideals
Kohji Yanagawa
第36回可換環論シンポジウム 2014年11月
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単項式イデアルの Lyubeznik 数 ～ polarization と局所化
柳川 浩二
2014年11月
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単項式イデアルの Lyubeznik 数 ～ polarizationと局所化
柳川 浩二
第4回岡山可換代数表現セミナー 2014年11月
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有向マトロイドに付随する単項式イデアル
柳川 浩二
組合せ論と可換代数サマーセミナー２０１４ 2014年9月
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多面体的複体の flag f-列について
村井聡, 柳川浩二
日本数学会2014年度年会 代数学分科会 2014年3月
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単項式イデアルの Lyubeznik table
柳川 浩二
組合せ論と可換代数サマーセミナー 2013年8月
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Dualizing complexes of seminormal affine semigroup rings and toric face rings
柳川 浩二
第34回可換環論シンポジウム 2012年11月
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On a minimal free resolution of a Borel fixed ideal and its supporting CW complex
岡崎亮太, 柳川浩二
２０１２年 日本数学会 秋季総合分科会 代数学分科会 2012年9月
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Free resolutions of (variants of) Borel fixed ideals
柳川浩二
第52回 代数学シンポジウム 2012年8月
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Alternative polarizations of Borel fixed ideals, Eliahou-Kervaire type resolution and discrete Morse theory
Yanagawa, Kohji
The 7th Japan-Vietnam Joint Seminar on Commutative Algebra 2011年12月
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Alternative polarizations of Borel fixed ideals and Eliahou-Kervaire type
岡崎 亮太, 柳川 浩二
第４４回環論および表現論シンポジウム 2011年9月
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Derived categories and topological methods in combinatorial commutative algebra I, II
YANAGAWA Kohji
空間の代数的・幾何的モデルとその周辺 2011年9月
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Sliding functor and polarization functor for multigraded modules
YANAGAWA Kohji
第6 回 Japan-Vietnam Joint Seminar on Commutative Algebra 2010年12月
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On the face ring of a simplicial poset
YANAGAWA Kohji
The 5-th Japan-Vietnam Joint Seminar on Commutative Algebra 2010年1月
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Recent topics on derived categories in combinatorial commutative algebra
YANAGAWA Kohji
研究集会「Syzygies of Projective Varieties」 2009年9月
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Dualizing complex of a toric face ring
YANAGAWA Kohji
Pacific Rim Mathematical Association (PRIMA) Congress 2009年6月
Works(作品等)
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MFO-RIMS Tandem Workshop: Symmetries on Polynomial Ideals and Varieties (hybrid meeting)
柳川 浩二
2021年9月
共同研究・競争的資金等の研究課題
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組合せ論的可換代数への圏論的アプローチの深化
研究課題/領域番号：25K06928 2025年4月 - 2029年3月
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
柳川 浩二
配分額：3770000円 （ 直接経費：2900000円 、 間接経費：870000円 ）
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Specht ideal の環論的性質およびグレブナ―基底の研究
研究課題/領域番号：22K03258 2022年4月 - 2025年3月
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C) 基盤研究(C)
柳川 浩二
配分額：2210000円 （ 直接経費：1700000円 、 間接経費：510000円 ）
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部分空間配置が与えるイデアルのCohen-Macaulay性
研究課題/領域番号：19K03456 2019年4月 - 2022年3月
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C) 基盤研究(C)
柳川 浩二
配分額：2990000円 （ 直接経費：2300000円 、 間接経費：690000円 ）
代表者は、本研究課題開始直前の2018年執筆の論文で、「Specht ideal は、いつ Cohen-Macaulay(以下 CM)になるか？」と言う基本的な問いを、標数0の場合に解決した(査読付き学術雑誌に掲載決定済み)。具体的には、標数0のとき、対応するイデアルがCMとなる分割は、次の3種類である。ア. (d,1,...,1), イ. (n-d,d), ウ. (d,d,1)。このうち「ア」は比較的簡明だが、「イ」と「ウ」はデリケートであり、未解明な点が多い(ただし、(n-1,1)の場合は自明)。たとえば、d≧3 のとき、(n-d,d) の Specht ideal のCM性は標数に依存する(標数０のときが最も CM になり易い)。
その後、本研究課題初年度である2019年度には、岡山大学大学院生(当時)の柴田孝祐氏との共同で、「イ」と「ウ」の場合に、剰余環のHilbert 級数を決定した(査読付き学術雑誌に掲載決定済み)。
ここからの直接の流れとして、2020年度には、やはり柴田氏との共同で、標数０の場合に、分割 (n-2,2), (d,d,1) の Specht ideal の極小自由分解を、対称群の表現論(Specht module の理論)を用いて構成した。(n-2,2)の場合は Gorenstein、(d,d,1)の場合は linear free resolution となり、一般の (n-d,d)より格段に制御し易いのが、構成が可能だった理由である。極小自由分解の各自由加群は、既約な Specht module に対応している。この結果も既に論文に纏めており、現在投稿中である。現在はこの結果を一般の (n-d,d) の場合に拡張すべく模索中である。 -
研究課題/領域番号：16K05114 2016年4月 - 2020年3月
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C) 基盤研究(C)
柳川 浩二
配分額：3250000円 （ 直接経費：2500000円 、 間接経費：750000円 ）
本研究課題申請時には、アファイン有向マトロイド M に付随する単項式イデアルが Cohen-Macaulay (以下、CM)ならば，Mの有界複体は可縮な(境界付き)ホモロジー多様体であることが概ね証明できており、この状況で、有界複体は閉球体と同相であると予想し、その解決を最大の目標とした。結果的に、3次元以下なら上記予想が証明できた他、4次元でも位相多様体であることまでは示すことができた。
期間の後半からは、Specht イデアルの研究に重心が移り、標数0の場合に、CMなSpechtイデアルを完全に決定した。 -
Stanley-Reisner イデアルの算術階数とそのべきの射影次元
研究課題/領域番号：26400049 2014年4月 - 2017年3月
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
寺井 直樹, 吉田 健一, 柳川 浩二, 木村 杏子, 庄田 敏宏, 岡田 拓三, 宮崎 誓, 青山 崇洋
配分額：4810000円 （ 直接経費：3700000円 、 間接経費：1110000円 ）
多項式環の被約単項式イデアルの記号的べきの射影次元に関して研究した。強良被覆グラフの辺イデアルの場合に記号的べきの射影次元に関して広義単調増加であることを示した。良被覆である２部グラフは強良被覆グラフであり、２部グラフの辺イデアルの記号的べきは通常べきに等しいことから、良被覆である２部グラフの辺イデアルの通常べきの射影次元はべきの大きさに関して広義単調増加であることも示せたことになる。さらに、次数１の頂点をもつグラフの辺イデアルに対しても記号的べきの射影次元に関して広義単調増加であることを示した。
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研究課題/領域番号：25400057 2013年4月 - 2016年3月
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C) 基盤研究(C)
柳川 浩二
配分額：2860000円 （ 直接経費：2200000円 、 間接経費：660000円 ）
スペインやアメリカの研究者と共同で，多項式環の単項式イデアルによる剰余環のLyubeznik 数を研究した。たとえば，polarization は，この不変量を実質的に保つことを示した。また，村井聡氏(大阪大学)と共同で，旗複体の cd-指数の研究に，squarefree 加群の理論を応用した。さらに，岡崎亮太氏(福岡教育大学)と共同で，単項式イデアルの胞体的自由分解について研究し，アファイン有向マトロイドへの応用を模索した。
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Ｓｔａｎｌｅｙ－Ｒｅｉｓｎｅｒイデアルの極小自由分解と算術階数
研究課題/領域番号：23540053 2011年 - 2013年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
寺井 直樹, 上原 健, 市川 尚志, 宮崎 誓, 河合 茂生, 吉田 健一, 柳川 浩二, 木村 杏子, 村井 聡
配分額：5070000円 （ 直接経費：3900000円 、 間接経費：1170000円 ）
多項式環の被約単項式イデアルであるStanley-Reisner イデアルの算術階数について研究した。Stanley-Reisner イデアルに関してはその算術階数はその剰余環の極小自由分解の長さ、つまり、その剰余環の射影次元以上であることが知られている。林の辺イデアルの算術階数はその剰余環の射影次元に等しいとBarileにより予想されていたのであるが、それに対して肯定的な答えを与えた。また高さ３のGorenstein Stanley-Reisner イデアルに関してもその算術階数はその剰余環の射影次元３となることを示した。
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研究課題/領域番号：22540057 2010年 - 2012年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C) 基盤研究(C)
柳川 浩二
配分額：2990000円 （ 直接経費：2300000円 、 間接経費：690000円 ）
Nagel と Reiner の結果を発展させ, Borel fixed ideal の 非標準的 polarization を研究し, その極小自由分解を構成した(岡崎亮太氏との共著)。この自由分解は, 正則なCW複体を台とするが, この現象は Welker らが構築した枠組内で, 離散モース理論を用いて「解釈」できる。
また, 半正規なアファイン半群環や toric face ring の双対化複体も研究した。Bruns, Nguyen らの結果を, 導来圏を用いて見直し, 改良している。 -
研究課題/領域番号：19540028 2007年 - 2009年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C) 基盤研究(C)
柳川 浩二, 寺井 直樹, 和久井 道久, 毛利 出, 若松 隆義, 和久井 道久, 毛利 出, 寺井 直樹, 若松 隆義
配分額：3900000円 （ 直接経費：3000000円 、 間接経費：900000円 ）
代表者は以前より、「Koszul双対性」など導来圏の理論を、組合せ論的可換代数の問題に応用してきた。その手法を、一般の可換環の研究に活かすことが当初の目的であった。この方向で、環の連接性等と関連した成果を得て、2009年に学術誌に発表した。2008年頃からは、若干方針を転換し、組合せ論的可換代数の対象ではあるが、やや定義が緩く(一般の環に近く)従来の手法が使えないものの研究に移行した。この方向では、数本の論文を書き、一部は出版済である。
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アフィントーリック多様体上の微分作用素環とその応用
研究課題/領域番号：18540002 2006年 - 2008年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
齋藤 睦, 山下 博, 柳川 浩二, 島田 伊知朗, 沼田 泰英, 柳川 浩二, 島田 伊知朗, 沼田 泰英
配分額：4060000円 （ 直接経費：3400000円 、 間接経費：660000円 ）
アフィントーリック多様体上の(アフィン半群環の)微分作用素環D の構造及びその(微分作用素の)階数による次数環 Gr(D) の構造の研究に関しての構造の研究に関して大きな進展があった。まず, いつもDは右ネターであることを示した。次に左ネター性についてであるが, 左ネターであるための或る十分条件、或る必要条件を与え, さらに、必要十分条件を予想した。また、クリティカル D-加群の特徴付けを行い, 単項生成の場合の分類を行った。さらに、Gr(D) がネター環のとき、 Gr(D) の素イデアルを記述した。
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Stanley-Reisner環の極小自由分解の研究
研究課題/領域番号：18540041 2006年 - 2007年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
寺井 直樹, 中原 徹, 上原 健, 市川 尚志, 吉田 健一, 柳川 浩二
配分額：4010000円 （ 直接経費：3500000円 、 間接経費：510000円 ）
本研究の目的は、Stanley-Reisner環の極小自由分解についてその可換環論的、組合せ論的性質を考察し、その応用を探ることにあった。Stanley-Reisner環の重複度と正則度の関係について重点的に研究した。
平成17年度以前の研究において、Stanley-Reisner環の次元をdとするとき、そのStanley-Reisnerイデアルの全ての生成元の次数がd以下でありそのStanley-Reisner環の重複度が2d-1以下ならば、その正則度はd以下であることを示した。それを受けて平成18年度にはStanley-Reisnerイデアルの第1シジジー加群の全ての生成元の次数がd+1以下であるとするとき、そのStanley-Reisner環の重複度が3d-2以下ならば、その正則度はd以下であることを示した。そのことから一般にStanley-Reisnerイデアルの第pシジジー加群の全ての生成元の次数がd+p以下であるとするとき、そのStanley-Reisner環の重複度が(p+2)d-(p+1)以下ならば、その正則度はd以下であることが予想される。平成19年度は、この予想に対して、Stanley-Reisner環の次元dが2、3のときにそれが成立することを示した。また、この予想は凸多面体論において有名な下限定理(次元と頂点数を固定したとき、stacked多面体の各次元の面の数が単体的多面体の中で極小値を与えるという定理)の極大面の場合のもっと一般的な図形への拡張に相当することがわかった。 -
Stanley-Reisner環の極小自由分解に関する研究
研究課題/領域番号：16540028 2004年 - 2005年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
寺井 直樹, 田中 達治, 中原 徹, 市川 尚志, 吉田 健一, 柳川 浩二
配分額：3600000円 （ 直接経費：3600000円 ）
本研究の目的は、Stanley-Reisner環の極小自由分解についてその可換環論的、組合せ論的性質を考察し、組合せ論的応用を探ることにあった。
平成16年度は線形自由分解を持つBuchsbaum Stanley-Reisner環について研究した。Buchsbaum Stanley-Reisner環の重複度の下限を求め、それが、ちょうど下限の値をとるとき、線形自由分解を持つことを示した。また、Buchsbaum Stanley-Reisner環が線形自由分解をもつ必要十分条件を対応する単体的複体および、そのまつわり複体の被約ホモロジー群の言葉であたえた。
平成17年度は主にStanley-Reisner環の重複度とCastelnuovo-Mumford正則度の関係について研究した。Stanley-Reisner環の次元をdとするとき、その重複度がd以下ならばそのStanley-Reisner環のCastelnuovo-Mumford正則度はd以下であることを示した。さらにそのStanley-Reisnerイデアルの全ての生成元の次数がd以下であるときにはそのStanley-Reisner環の重複度が2d-1以下ならばそのCastelnuovo-Mumford正則度はd以下であることを示した。
さらに、線形自由分解をもつStanley-Reisner環のなかで、特にd線形自由分解をもつものについて重点的に調べた。上の結果からStanley-Reisnerイデアルの全ての生成元の次数がd以上であるときにはそのStanley-Reisner環の重複度がd以下ならばそのStanley-Reisner環はd線形自由分解をもつことがわかった。さらに、Stanley-Reisnerイデアルの全ての生成元の次数がdであるときにはそのStanley-Reisner環の重複度が2d-1以下ならばそのStanley-Reisner環はd線形自由分解をもつことがわかった。また、アレクサンダー双対複体を用いて、重複度が十分大きいならば、Stanley-Reisner環はCohen-Hacaulay環であることを示した。 -
層や導来圏の理論を用いた組合せ論的可換代数の研究
研究課題/領域番号：15740014 2003年 - 2005年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 若手研究(B) 若手研究(B)
柳川 浩二
配分額：3400000円 （ 直接経費：3400000円 ）
昨年度に執筆した論文"Dualizing complex of the incidence algebra of finite regular cell complex"と"Castelnuovo-Mumford regularity for complexes and weakly Koszul modules"が,今年度に入って学術雑誌に受理された.特に前者は,受理される前に大幅な加筆を行い,組合せ論的な側面(正則胞体分割の半順序集合としての「メビウス関数」など)を強化している.
また,今年度に得られた結果として,「アファイン半群環K[C]の被約な単項式イデアルIによる剰余環(最近では,"toric face ring"等と呼ばれるもの)の"sequentially Cohen-Macaulay"性(以下"seq.CM"と略す)は,Iに付随するpolytopal complexの位相的性質(と体Kの標数)のみによって定まる」を示したこと等が挙げられる.論文は,現在執筆中である.toric face ringのCohen-Macaulay性が位相的性質であることは(K[C]が多項式環の場合のMunkresの著名な結果の一般化であるが),20年前Stanleyによって証明されており,筆者も数年前,層の理論を用いた別証明を与えている.今回の結果は,この筆者自身の論法の発展である(Stanleyの証明は,Yuzvinskyによる"section ring"の理論の応用であるが,seq.CM性の場合に,この論法を用いるのは困難かと思われる).なお,seq.CMは,Cohen-Macaulayを一般化した概念で,近年では,"shifting"や"non-pure shellability"との関連から,「組合せ論的可換代数」での重要性が増している. -
Stanley-Reisner環の理論に現れるKoszul双対性の研究
研究課題/領域番号：13740011 2001年 - 2002年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 若手研究(B) 若手研究(B)
柳川 浩二
配分額：1800000円 （ 直接経費：1800000円 ）
私は,数年前,組合せ論的可換代数の基本的な概念である「Stanley-Reisenr環」を一般化して,「squarefree加群」を定義した.この概念は,当該分野の道具の一つとして定着しつつある.squarefree加群の有界な導来圏には,3つの「双対性」が存在し,3次対称群の3つの互換の如く作用している.この現象は,Koszul双対性(特に,Bernstein-Gel'fand-Gel'fand対応)と関連している.この研究成果は,Journal of the Mathematical Society of Japanへの掲載が決定している"Derived Category of Squarefree Modules and Local Cohomology with Monomial Ideal Support"にまとめた.(この論文の第一稿は,平成12年度に投稿したが,レフェリーの助言もあり,平成13年度に全面的に改定し,結果を大幅に強めた.また,14年度にも若干の改良を行った.この意味で,この論文は13-14年度の成果でもある.)
Stanley-Reisener環が,対応する単体的複体の位相幾何学的性質を様々に反映しているのに対し,その一般化であるsquarefree加群の幾何学的な意味は,暫くはっきりしなかったが,平成14年度の研究で,(n変数多項式環上の)squarefree加群から,(n-1)次元閉球体上の層が構成でき,自然な(スキーム論における"Proj"と類似の)理論が展開できることが分かった.この文脈では,位相幾何学のポアンカレ・ヴェルディエ双対性と,可換代数の局所双対性が等価となる.この研究成果は,投稿中のプレプリント"Stanley-Reisner rings, sheaves, and Poincare-Verdier duality"にまとめた. -
単項式イデアルの研究への圏論的手法の応用
研究課題/領域番号：12740013 2000年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 奨励研究(A)
柳川 浩二
配分額：1100000円 （ 直接経費：1100000円 ）
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リーマン多様体のなす空間の幾何学
研究課題/領域番号：11640075 1999年 - 2002年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
大津 幸男, 後藤 竜司, 塩谷 隆, 山田 光太郎, 山口 孝男, 大山 陽介, 大和 健二, 和田 健志, 柳川 浩二
配分額：3600000円 （ 直接経費：3600000円 ）
曲率が下から,次元が上から押さえられたアレクサンドロフ空間全体の空間にハウスドルフ距離を与えた距離空間(以下モジュライ空間)をAとし,この上の上半連続関数の関数空間をIと表す.Iは不変量のなす空間と云える.距離空間の個数一定の点の順序付きの集合をネットと呼ぶ,これは空間を離散化したものと思うことができる.ネット全体はその空間の直積と見なせるので,各空間とそのネットの組み全体を考えると,A上のファイバー空間のようにみなせる.その各ネットに対してそれらの二点間の距離から定まる行列でユークリッド空間への写像を作ることでネットの距離構造を表現し,これを精密に行うことによりアレクサンドロフ空間のネットの空間を無限次元バナッハ空間に等長的に埋め込むことができる.この写像から距離構造の局所的なデータを取り出す別な(ユークリッド空間への)写像を導入した.このようものは一意的に決まるわけではないが,リーマン多様体のラプラシアンとの類似により離散ラプラシアンを定義し,ネットの個数が無限に発散するときの離散ラプラシアンのファイバー上の平均を取ることでその統計的な挙動を調べる手法を導入した.これにより(適当な意味で)離散ラプラシアン(の固有値・固有ベクトル)がネットの取り方によらないある極限に確率収束することを示し,さらにこの極限は桑江・町頭・塩谷によるアレクサンドロフ空間のラプラシアンとある意味で一致することを示した.
次に我々は離散ラプラシアンが有限次元の行列として表されることに注目し,異なる空間(とネット)の間でそれを比較することで,Aの新しい構造を定義することを試みた.比較する方法として,有限なパラメータを持つ分布の間の相対エントロピーがリーマン計量(フィシャー計量)を定めるという情報幾何の結果に着目した.まず,離散ラプラシアンを変形することでネットの定常マルコフ連鎖が得られることを示し,別の空間のネットのマルコフ連鎖の間の相対エントロピーを考察した.これは幾つかのパラメータとネットの選び方によって定まるので,平均と極限をとることで相対エントロピーの連続極限を構成した. -
次数付可換環のヒルベルト関数と極小自由分解
研究課題/領域番号：09740014 1997年 - 1998年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 奨励研究(A) 奨励研究(A)
柳川 浩二
配分額：1800000円 （ 直接経費：1800000円 ）
97年度は、E.Ballico 氏と共同で、very strange curve と言う、ある意味で極めて病的な射影曲線を研究し、これを正標数の代数閉体上の Cohen-Macaulay 斉次整域のヒルベルト関数の研究に応用した。very strange curve の定義イデアルは基礎体の標数より小さい次数の元を殆ど含まないことを示したものである(単なる“strangecurve"では、この性質を持たない)が、未だはっきりしない部分も多く、今後も研究を継続していきたい。
また同年度は、Bayer, Peeva, Sturmfels らによって当時導入されたばかりであった、凸幾何学的に特殊な構造を持った monomial ideal を研究し、これの準素成分がある種の「連結性」を持つことを示した(少し後で、toric ideal の initial ideal の準素成分が同様の性質を持つことが、 Hosten と Thomas によって示されている)。先行する研究が凸幾何学的手法によるものであったのに対し、筆者は、局所双対性等、可換代数的な手法も併用した。この研究は、98年度には、E.Mill,Sturmfels 両氏との共同研究に発展した(現在投稿中)。ここでは、 toric ideal の initial ideal も研究しており、手法的にも、 local h-vector や Alexander 双対性といった新しいものを導入している。
また、98年度は、 Stanley-Reisner 環の Alezander 双対性も研究し、 Cohen-Macaulayな Stanley-Reisner 環 k[Δ] の標準加群の加群構造の情報と、その双対の Stanley-Reisner 環 k[Δ^V]の極小自由分解の(微分写像まで込めた)情報が等価であること等を示した。
上述の monomial ideal や toric ideal の凸幾何学的自由分解の話題は、最近、Bayer,Popescu らによって(凸幾何学的にも可換代数的にも)より精密な方向に発展してきており、筆者も、この方向での研究を続けていきたいと考えている。 -
凸多面体の組合せ論への応用を見込んだ計算可換代数についての基礎理論の構築
研究課題/領域番号：09440013 1997年 - 1998年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(B)
日比 孝之, 柳川 浩二, 並河 良典, 宮西 正宣, 鈴木 貴, 川中 宣明, 小川 裕之, 磯崎 洋
配分額：3400000円 （ 直接経費：3400000円 ）
当該基盤研究の顕著な研究成果はcomponentwise linear idealの概念の導入とその基礎理論の樹立,並びに,単体的複体のgeneric initial idealをsquarefree単項式イデアルの範疇で捕えその組合せ論への具体的かつ効果的な応用を遂行したことである.第1に,我々は「単体的複体Δに付随するsquarefree単項式イデアルがcomponentwise linear idealとなるためにはΔの双対複体が数列的Cohen-Macaulayとなることが必要十分である」を示し,数列的Cohen-Macaulay単体的複体とそのh-三角形の代数的意義を解明した.第2に,計算可換代数で盛んに研究されているgeneric initial idealの理論を踏まえ「多項式環の斉次イデアルIについて,Iとそのgeneric initial idealの次数付ベンチ数がすべて一致するためにはIがcomponentwise linearとなることが必要十分である」を証明し,計算可換代数においてcomponentwise linear idealの果たす本質的な役割を明確にした.第3に,古典的な有限集合の組合せ論における最高峰に位置するKruskal-Katona定理を多項式環におけるsquarefree単項式イデアルの次数付ベッチ数列の枠内で捕え,その代数的一般化を樹立するための研究を推進させ,squarefree単項式イデアルのgeneric initial idealの次数付ベッチ数列と同一の次数付ベッチ数列を持つ強安定なsquarefree単項式イデアルの存在を証明し,懸案の予想「固定したHilbert函数を持つsquarefree単項式イデアルについて,その次数付ベッチ数は対応するlexsegment idealのベッチ数を越えない」を肯定的に解くことに成功した.
社会貢献活動
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なし
教育内容・方法の工夫（授業評価等を含む）
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1セメスターに少なくとも3回程度、レポート課題を課している。これは、「提出することに意味がある」ものではなく、丁寧に添削し、解答が間違っている場合はヒントや正解を書き込み、返却している。
作成した教科書、教材、参考書
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教科書は、市販のものを使用している（所属学科のスタッフが作成した教科書も使っているが、筆者の赴任前なので、自分は執筆に関わっていいない）。自学科向けの専門科目では、教科書に載っていない題材を教えたい場合、自分で教科書・副読本風の教材を作成し、学生にプリント配布することもある。
教育方法・教育実践に関する発表、講演等
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特になし
その他教育活動上特記すべき事項
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特になし