配分額：4680000円 （ 直接経費：3600000円 、 間接経費：1080000円 ）

3次元ユークリッド空間内の周期的極小曲面は界面活性剤の膜の数学的モデルであることが知られており，1990年代に物理学者たちが様々な変形族を考察している．一方，極小曲面の安定性は面積最小性によって記述されてきた．特に1984年にBarbosa-doCarmoによって精錬された体積保存安定性による考察が有力視される．本研究課題によって物理学者たちが扱ってきた変形族に対して体積保存安定の状態を特定することができた．また，界面活性剤の膜の温度を変化させるとラメラ構造と呼ばれる，平面が周期的に並ぶ膜に変位することが知られている．このラメラ構造が三重周期的な極小曲面の極限として記述できるという示唆を得た．

配分額：4810000円 （ 直接経費：3700000円 、 間接経費：1110000円 ）

代数曲線の数論的Schottky-Mumford一意化理論を用いて、Chern-Simons不変量の数論性を示した。その結果と数論幾何におけるArakelov理論、古典的Liouville場に関するZograf及びMcintyre-Takhatajanの理論を用いることにより、代数曲線のモジュライ空間上においてChern-Simons直線束を表す、Deligne-Riemann-Roch同型写像の具体的な無限積表示を与えた。その応用として、Schottky群のRuelleゼータ関数の特殊値を周期積分と判別式の積で表し、幾何的なゼータ関数についてもDeligne予想の類似が成り立つことを示した。

配分額：4810000円 （ 直接経費：3700000円 、 間接経費：1110000円 ）

多項式環の被約単項式イデアルの記号的べきの射影次元に関して研究した。強良被覆グラフの辺イデアルの場合に記号的べきの射影次元に関して広義単調増加であることを示した。良被覆である２部グラフは強良被覆グラフであり、２部グラフの辺イデアルの記号的べきは通常べきに等しいことから、良被覆である２部グラフの辺イデアルの通常べきの射影次元はべきの大きさに関して広義単調増加であることも示せたことになる。さらに、次数１の頂点をもつグラフの辺イデアルに対しても記号的べきの射影次元に関して広義単調増加であることを示した。

配分額：10790000円 （ 直接経費：8300000円 、 間接経費：2490000円 ）

石鹸膜，シャボン玉の表面の数学的抽象化と言える数学概念として，それぞれ，極小曲面，平均曲率一定曲面（以下ではCMC曲面と記す）がある．極小曲面は面積の平衡曲面，CMC曲面は囲む体積を変えない変分（許容変分と呼ぶ）に対する面積の平衡曲面である．これらの曲面は，対応する許容変分に対する面積の極小値をとる時，安定であると言われる．本研究では，極小曲面やCMC曲面について，固定境界，自由境界，周期境界条件のもとで，安定性の判定とモース指数(不安定度)の評価，安定解の存在と一意性，解空間の構造についての研究成果を得た．

配分額：2990000円 （ 直接経費：2300000円 、 間接経費：690000円 ）

国立大学の附属学校を中心に、その教育効果を測定するために調査を行った。それは、いわゆる学力テストではなく、児童・生徒にインタビューを行い、得られた語り（学びのヒストリー）を解釈する方法によるものであった。
明らかになったことは、児童・生徒の学びは多様で個性的であるが、学校や家庭等の状況に埋め込まれていることである。そのため、学校や家庭等の状況的圧力によって学びが制限されるが、それらからリソースを得て積極的に学びを拡張していることも大ある。そこで、学校や家庭の学習状況を重視した教育が強く求められると言えよう。

配分額：4680000円 （ 直接経費：3600000円 、 間接経費：1080000円 ）

本研究はEuclid空間内の周期的な極小曲面，特に三重周期的極小曲面全体のモジュライ空間を，Morse指数という微分幾何学的量によって記述することを趣旨とするものであった．本研究課題期間にて，物理や化学で考察されていた変形族に対してMorse指数を数値計算で決定し，その構造を特定することができた．また，三重周期極小曲面の極限を考察し，ラメラ構造と呼ばれる周期的曲面の構造を数学的に記述することができた．さらに，3次元uclid空間内の全曲率完備極小曲面の存在と一意性を示すことにも成功した．

配分額：13780000円 （ 直接経費：10600000円 、 間接経費：3180000円 ）

主曲率の個数6,重複度2の等径超曲面の等質性を示し，長年の問題を解決した．主曲率の個数4についてスピン作用のモーメント写像による記述を与えた．トランスノーマル系の研究を深めた．
リッチ曲率正のケーラー多様体の非コンパクト完備安定極小ラグランジュ部分多様体上には非自明なL2調和1形式は存在しないことを示し，非放物型エンドは高々１つであり，曲面なら種数が０であることがわかった．
等径超曲面のガウス像のハミルトン変形との交叉に関わるフレアホモロジー論の研究において，主曲率の重複度が２以上の場合にはどんなハミルトン変形によっても，交叉が外せないことを示した（入江博，Hui Ma,大仁田義裕との共同研究）．

配分額：3110000円 （ 直接経費：2600000円 、 間接経費：510000円 ）

平均曲率一定曲面または非等方的平均曲率一定曲面に対するいくつかの固定境界または自由境界問題に対し、解または安定解の存在・一意性・幾何学的性質、体積または(非等方的)平均曲率を変化させたときの解の対称性の変化、位相的性質の変化、分岐の状況、個々の解の安定性を決定した。さらに、一般の固定境界または自由境界問題に対する分岐理論を構築した。また、非等方的表面エネルギーに対する凸性の仮定をはずすことにより、ローレンツ・ミンコフスキー空間内の平均曲率一定超曲面を含む広いクラスの超曲面を非等方的平均曲率一定超曲面として統一的に扱い、新しい一意性定理や例を構成した

配分額：4290000円 （ 直接経費：3300000円 、 間接経費：990000円 ）

極小曲面全体の集合である「極小曲面のモジュライ空間」を研究する上で,モジュライ空間上の周期写像を考えることが重要なのであるが,様々な極小曲面の具体例の周期を計算してみると,周期の性質には何らかの対称性があるような印象がある.それは方程式論におけるガロア理論に見られるような,何らかの可解性によって記述できる対称性であることが期待される.そこで本研究では極小曲面のモジュライ理論をガロア理論の観点から確立したい.

配分額：4420000円 （ 直接経費：3400000円 、 間接経費：1020000円 ）

本研究では部分多様体の幾何学の独自の研究方法とリーマン多様体における微分作用素の固有値の研究方法を融合し,良い性質を持つ試験関数を構成でき,完備リーマン多様体内の有界領域におけるLaplace作用素のDirichlet固有値問題の固有値に関する最良普遍不等式及び張り詰められた状態でのプレート問題の固有値に関する優れた普遍不等式を得た。固有値に関する普遍不等式及びCheng-Yangの漸化不等式を利用し,Laplace作用素のDirichlet固有値問題の第k番目固有値に対する最良上限を与えた。さらに,独創的且つ斬新的な研究方法でPolya予想の完備リーマン多様体版を研究し,Laplace作用素のDirichlet固有値問題の固有値の下限に関するLi-Yau型不等式を得た。n次元Euclid空間内の有界領域における張り詰められた状態でのプレート問題の第 k 番目固有値を研究し,Fourier変換及び領域の対称減少再配列方法を融合し,Levine-Protterの不等式を改良した。様々な立場から部分多様体の幾何学構造及び位相構造に関する研究を行い,単位球面内のスカラー曲率が一定のコンパクト超曲面におけるヤコビ作用素の第1固有値を評価し,最適な上限を与えた。さらに,k次平均曲率が一定でコンパクト埋め込み超曲面を沢山構成した。

配分額：27560000円 （ 直接経費：21200000円 、 間接経費：6360000円 ）

等径超曲面の分類問題の大部分を解決し,運動量写像で表現することにより,可積分系理論との関連性を根拠づけた.特異点をもつ曲面の基礎理論を進展させ,種々の局所・大域理論を明らかにし,ルジャンドル写像を用いた新しい視点を開発した.リーマン・ヒルベルト対応を介してパンルヴェ方程式の力学系を研究し,カオス性の観点を開拓した.高種数Gromov-Witten理論のモジュラー性,ミラー対称性を論じ,また量子コホモロジーから得られる正則微分をポテンシャルにもつ曲面の構成を通じて,tt*幾何に貢献した.

配分額：8740000円 （ 直接経費：7300000円 、 間接経費：1440000円 ）

自然な仮定のもとで特異点をもつ曲面のクラスの性質を,ワイエルストラス型表現公式を用いてしらべた.とくに,3次元双曲空間の平坦フロントの大域的な挙動,3次元ミンコフスキー空間の極大曲面および3次元ド・ジッター曲面の平均曲率1の曲面の特異点の挙動を解析した.また,特異点の微分幾何学として,とくにフロント(波面)の特異点に特異曲率を定義し,ガウス・ボンネ型の定理を得るとともに,フロントの内的な定式化を行った.

配分額：1100000円 （ 直接経費：1100000円 ）

本年度の研究課題はSpecial Lagrangian多様体を幾何学的測度論の観点から研究する事であった.そのために体積最小に関する古典的な部分多様体である極小曲面の研究方法をSLの研究へと適応する事を試みた.その前段階として平坦トーラス内の極小曲面に関する研究を行った.
まず4次元平坦トーラス内の極小曲面において,筆者による先行研究の具体例よりも種数の高い具体例を構成した.今回構成した具体例は長野-Smythによる結果の逆が一般には成り立たない事を示すのみならず,極小曲面全体のモジュライの研究に関係するものである.また,その後イギリスのWarwick大学のスタッフであるM.Micallef氏のもとに滞在し,この具体例の指数に関する研究を行った結果,それは6以上である事が判った.次に6次元平坦トーラス内の安定極小曲面でトーラスのどのような複素構造に対しても複素正則にならないような安定極小曲面の存在に関する研究を行った.この問題はC.Arezzp, Micallef, R.Schoenをはじめとして多くの研究者の興味をひくものであり,未だ解決されていない問題である.その第一歩としてまず具体例の構成を考えた.構成の手段として,5次元平坦トーラス内の極小曲面からそれを1助変数にて変形して6次元平坦トーラス内の複素正則な極小曲面を構成した.現在,その複素正則な極小曲面に近い極小曲面における安定性を考察中である.さらに,神戸大の藤森祥一氏との共同研究にて,筆者による3次元平坦トーラス内の極小曲面の具体例のグラフィックスおよびその構造が明らかになった.これは6本の閉折れ線によるPlateau問題の解となる極小曲面を鏡像の原理で増やしたものである.残念ながら本研究が目指す結び目に関するPlateau問題による構成ではないものの十分にその価値を評価しうるものである事が判った.