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Grant amount：\18720000 （ Direct Cost: \14400000 、 Indirect Cost：\4320000 ）

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Grant amount：\3510000 （ Direct Cost: \2700000 、 Indirect Cost：\810000 ）

非正規確率過程の一種である student-t Levy 過程により駆動される連続時間回帰モデルにおける回帰・スケールパラメータと自由度パラメータの推定法の構成とそのシミュレーション手法の実装を行なった。推定法は, student-t Levy 過程の局所 Cauchy 近似に基づく擬似最尤法による回帰・スケールパラメータの推定と, 擬似最尤推定量により構成した残差に基づく自由度パラメータの推定という段階型の推定法を考案し, 一致性や漸近正規性といった漸近的性質を明らかとした。さらに, student-t Levy 過程は畳み込みによって分布が閉じていないため, 特性関数の Fourier 逆変換による累積分布関数の近似に基づく乱数生成手法を構成し, 上記の推定手法と合わせて実装を行なった。 これらの結果は現在国際誌へ投稿中である。
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また, カーネル関数の非正規レヴィ過程による確率積分で定義される移動平均型のモデルの統計理論構築に着手した。本モデルはカーネル関数の表現を変えることで, 例えば, 連続時間移動平均自己回帰モデル (CARMAモデル) やフラクショナルレヴィ過程といった重要なモデルを表現できる。具体的には, 時系列モデルで広く用いられているスペクトル密度に基づくWhittle型の擬似尤度による推定法の理論的性質を考察するとともに, シミュレーションにより推定精度を数値的に確認した。

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Grant amount：\16900000 （ Direct Cost: \13000000 、 Indirect Cost：\3900000 ）

本年度の主な研究成果として以下が挙げられる。
１．ジャンプ型拡散過程モデルに対して推定量の最適性を議論するための局所漸近正規性を示すため、Jeganathan (Sankhya 1982)において研究されている局所漸近正規性が成立するための十分条件を発展させ、ジャンプ型拡散過程モデルを扱える手法へと拡張した。
この手法とShimizu and Yoshida (SISP 2006), Ogihara and Yoshida (SISP 2011)において研究されているジャンプ部分と連続部分を分離する技術をあわせて、ジャンプ型拡散過程モデルの局所漸近正規性を示した。この成果は論文にまとめ、投稿中である。
２．ジャンプ型拡散過程の非同期観測モデルに対する最尤型推定量の性質を調べるため、まずはエルゴード型拡散過程モデルの最尤型推定量の漸近正規性の結果を示した。このモデルに対しては推定量の最適性を示すための局所漸近正規性の結果が成立することも期待され，さらに推定量の最適な漸近分散がジャンプ型拡散過程モデルの場合と同じになると期待されることからこれを示すことを目指していく。また、シンプルなジャンプ拡散の非同期モデルにおいても最尤型推定量の漸近正規性を確認した。
3. 拡散過程モデルにおいて拡散係数が未知の場合に観測から近似してドリフト項のパラメータを推定する手法を開発した。この推定手法は拡散過程のドリフト構造だけわかっているようなモデルにおける推定を可能にする。
4. 保険分野への応用として、死亡率予測に関して拡散過程のhitting time distribution を活用した全く新しい予測モデルを開発した他、クレーム件数とクレームの間に長期記憶的な相関がある場合の極限モデルとして現れるフラクショナルブラウン運動で駆動される確率微分方程式の統計推測の成果を出した。

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Grant amount：\16900000 （ Direct Cost: \13000000 、 Indirect Cost：\3900000 ）

１．ジャンプ型拡散過程の非同期観測モデルにおいて、ジャンプ時刻とジャンプサイズを観測に加えた補助モデルの局所漸近正規性を示した。これにより任意の推定量の漸近分散の下限を与えられ、提案推定量がこの下限を達成し、その意味で最適な推定量であることを確認した。
２．レヴィ過程の非同期観測モデルに対して最尤型推定量を構築し、漸近理論における推定量の望ましい結果である一致性を示した。
３．機械学習において近年活発に研究されている「拡散モデル」を拡散過程におけるパラメータ推定問題とみなし、疑似尤度関数を用いたニューラル・ネットワークで学習することで、従来のスコア・マッチングの手法よりも学習精度が改善することを確認した。
４．拡散過程モデルにおいて拡散係数が未知の場合に観測から近似して最尤型推定量を構築し、その一致性・漸近正規性を示した。また、拡散係数が既知の場合の最適な漸近分散を達成し、その意味で最適な推定量となっていることを確認した。この結果は国際雑誌Scandinavian journal of Statisticsに投稿し、採択された（Ogihara and Stadje (2023））。
５．Fukasawa and Takano (2024)において、ファイナンスにおける重要な資産価格モデルであるラフ・ボラティリティ・モデルの分析に部分ラフパス空間を導入して大偏差原理を証明した。確率ボルテラ方程式の離散近似誤差中心極限定理を証明した。Fukasawa and Ugai (2023)では、確率ボルテラ方程式の離散近似誤差中心極限定理を証明した。Mitsuda and Shimizu (2024)において、保険分野への応用として死亡率予測モデルに確率微分方程式を取り入れ、関数データ解析（FDA）の手法を用いた予測により精度改善を示した。

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Grant amount：\4160000 （ Direct Cost: \3200000 、 Indirect Cost：\960000 ）

本研究は、時系列データに多く見られる非正規性と多様な観測頻度特性をモデリング可能な連続時間モデルの一つである非正規確率微分方程式モデルに対し、高頻度離散観測を想定した汎用的な統計手法を構築するものである。前年度行った正規型疑似尤度に基づくエルゴード的確率微分方程式モデルに関するモデル選択手法の結果は、Scandinavian Journal of Statistics へ採択された (DOI: 10.1111/sjos.12474)。本年は下記項目について研究を行った。まず前年度より引き続き行っているブートストラップ法による誤特定下における正規型疑似最尤推定量の漸近分布近似である。具体的には、想定する駆動ノイズ分布の差異により生じる収束レートをデータのみで補正する統計量を構築することで、駆動ノイズ分布の特定無しでの漸近分布近似が可能となった。また、統計言語 R 上実装のためのシミュレーションおよびコーディングを行った。これらの結果は国際誌へ投稿中である (arXiv:2009.05232)。また、非エルゴード下における誤特定理論構築のための考察および資料収集を行った。本テーマについては、最適モデルを特徴付ける推定関数の極限にランダム性が残ることによる解釈性および誤特定バイアスの処理が課題となっている。また、並行して、ファイナンスや保険等で基本的なモデルとなっている飛躍型拡散過程のモデル選択手法の構築に着手し、そのために必要となるマリアヴァン解析や stochastic flow などの理論を用いた推移密度関数の評価の情報収集を行うとともに、形式的な情報量規準によるシミュレーションを行った。

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