学位
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博士（数理科学） （ 1996年3月 ）
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修士（理学） （ 1992年3月 ）
研究キーワード
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微分幾何学
研究分野
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自然科学一般 / 幾何学
学歴
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東京大学 数理科学研究科
1992年4月 - 1996年3月
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東京大学 理学研究科
1990年4月 - 1992年3月
-
東京大学 理学部
- 1990年3月
経歴
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関西大学システム理工学部教授
2012年4月
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一橋大学大学院経済学研究科准教授
2007年4月 - 2012年3月
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一橋大学大学院経済学研究科助教授
2003年4月 - 2007年3月
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金沢大学理学部講師
2000年4月 - 2003年3月
-
金沢大学理学部助手
1997年1月 - 2000年3月
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日本学術振興会特別研究員
1995年4月 - 1996年12月
所属学協会
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日本数学会
論文
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Isothermally asymptotic centroaffine minimal surfaces of cohomogeneity one 査読
Atsushi Fujioka
International Journal of Geometry 12 56 - 68 2023年
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Centroaffine surfaces of cohomogeneity one with planar curvature lines 査読
Atsushi Fujioka, Hitoshi Furuhata
Colloquium Mathematicum 172 ( 2 ) 173 - 190 2023年
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等積中心アファイン曲線と円周の微分同相群
藤岡敦
数理解析研究所講究録 2210, 85-93 2022年
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Centroaffine surfaces of cohomogeneity one 査読
Atsushi Fujioka, Hitoshi Furuhata
Bulletin of the Brazilian Mathematical Society, New Series 50, Issue 1, pp. 291-313 2019年
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The center map of a centroaffine ruled surface 査読
Atsushi Fujioka, Hitoshi Furuhata
Analele ştiinţifice ale Universităţii “Al. I. Cuza” din Iaşi. Matematică (SERIE NOUĂ) Tumul LXIV, f. 2, pp. 343-355 2018年
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Centroaffine surfaces with parallel or recurrent cubic form relative to the induced connection 査読
Atsushi Fujioka, Kunio Hamamoto, Yasunobu Nakai
Beitrage zur Algebra und Geometrie 58, No. 2, pp. 303-310 2017年
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Projective surfaces and pre-normalized Blaschke immersions of codimension two 査読
Atsushi Fujioka, Hitoshi Furuhata, Takeshi Sasaki
International Electronic Journal of Geometry 9, No. 1, pp. 100-110 2016年
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Multi-Hamiltonian structures on spaces of closed equicentroaffine plane curves associated to higher KdV flows 査読
Alsushi Fujioka, Takashi Kurose
Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications (SIGMA) 10 2014年
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Flat centroaffine surfaces with non-semisimple Tchebychev operator 査読
Atsushi Fujioka
Differential geometry of submanifolds and its related topics pp. 180-189 180 - 189 2014年
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Projective minimality for centroaffine minimal surfaces 査読
Atsushi Fujioka, Hitoshi Furuhata, Takeshi Sasaki
Journal of Geometry 105 ( 1 ) 87 - 102 2014年
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Centroaffine minimal surfaces whose centroaffine curvature and Pick function are constants 査読
Atsushi Fujioka
Journal of Mathematical Analysis and Applications 365 ( 2 ) 694 - 700 2010年
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Hamiltonian formalism for the higher KdV flows on the space of closed complex equicentroaffine curves 査読
Atsushi Fujioka, Takashi Kurose
International Journal of Geometric Methods in Modern Physics 7 ( 1 ) 165 - 175 2010年
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Surfaces in the complexified sphere parametrized by a complex orthogonal net 査読
Atsushi Fujioka
JP Journal of Geometry and Topology 10, pp. 89-98 ( 2 ) 89 - 181 2010年
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Centroaffine minimal surfaces with non-semisimple centroaffine Tchebychev operator 査読
Atsushi Fujioka
Results in Mathematics 56 ( 1-4 ) 177 - 195 2009年
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Geometry of the space of closed curves in the complex hyperbola 査読
Atsushi Fujioka, Takashi Kurose
Kyushu Journal of Mathematics 63 ( 1 ) 161 - 165 2009年
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Timelike surfaces with harmonic inverse mean curvature 査読
Atsushi Fujioka, Jun-ichi Inoguchi
Advanced Studies in Pure Mathematics 51 113 - 141 2008年
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Bonnet surfaces with non-flat normal bundle in the hyperbolic four-space 査読
Atsushi Fujioka
Far East Journal of Mathematical Sciences 30 ( 2 ) 381 - 387 2008年
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Motions of curves in the complex hyperbola and the Burgers hierarchy 査読
Atsushi Fujioka, Takashi Kurose
Osaka journal of mathematics 45 ( 4 ) 1057 - 1065 2008年
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Deformations of surfaces preserving conformal or similarity invariants 査読
Atsushi Fujioka, Jun-ichi Inoguchi
Progress in Mathematics 252 ( 252 ) 53 - 67 2007年
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Centroaffine minimal surfaces with constant curvature metric 査読
Atsushi Fujioka
Kyungpook Mathematical Journal 46 ( 2 ) 297 - 305 2006年
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随伴族をもつ曲面
藤岡敦
一橋論叢 133 ( 3 ) 60 - 78 2005年
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Bianchi surfaces with constant chebyshev angle 査読
Atsushi Fujioka
Tokyo Journal of Mathematics 27 ( 1 ) 149 - 153 2004年
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Bonnet surfaces in four-dimensional space forms 査読
Atsushi Fujioka
International Journal of Mathematics 15 ( 10 ) 981 - 985 2004年
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Timelike Bonnet surfaces in Lorentzian space forms 査読
Atsushi Fujioka, Jun-ichi Inoguchi
Differential Geometry and its Applications 18 ( 1 ) 103 - 111 2003年
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Spacelike surfaces with harmonic inverse mean curvature 査読
Atsushi Fujioka, Jun-ichi Inoguchi
The University of Tokyo, Journal of Mathematical Sciences 7 ( 4 ) 657 - 698 2000年
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Surfaces with harmonic inverse mean curvature in space forms 査読
Atsushi Fujioka
Proceedings of the American Mathematical Society 127 ( 10 ) 3021 - 3025 1999年
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On some generalisations of constant mean curvature surfaces 査読
Atsushi Fujioka, Jun-ichi Inoguchi
Lobachevskii Journal of Mathematics 3 73 - 95 1999年
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Actions of loop groups on simply connected H-surfaces in space forms 査読
Atsushi Fujioka
Journal of the Mathematical Society of Japan 50 ( 4 ) 819 - 829 1998年
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Bonnet surfaces with constant curvature 査読
Atsushi Fujioka, Jun-ichi Inoguchi
Results in Mathematics 33 ( 3-4 ) 288 - 293 1998年
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Bonnet surfaces with constant curvature
藤岡敦, 井ノ口順一
数理解析研究所講究録 1069 73 - 82 1998年
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Harmonic maps and associated maps from simply connected Riemann surfaces into the 3-dimensional space forms 査読
Atsushi Fujioka
Tohoku Mathematical Journal 47 ( 3 ) 431 - 439 1995年
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A generalization of H-surfaces and a certain duality 査読
Atsushi Fujioka
Journal of the Mathematical Society of Japan 47 ( 1 ) 183 - 190 1995年
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Minimizing tangent maps from 3-ball to complex projective spaces 査読
Atsushi Fujioka
Journal of the Faculty of Science, University of Tokyo. Section IA 40 ( 1 ) 125 - 139 1993年
書籍等出版物
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曲線・曲面・多様体—現代幾何学の入り口
（ 担当： 単著）
日本評論社・大学数学ガイダンス 2024年4月
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幾何学入門教室 : 線形代数から丁寧に学ぶ
藤岡, 敦（ 担当： 単著）
共立出版 2024年1月 （ ISBN:9784320115552 ）
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手を動かしてまなぶ曲線と曲面
藤岡, 敦（ 担当： 単著）
裳華房 2023年9月 （ ISBN:9784785315986 ）
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学んで解いて身につける 大学数学 入門教室
藤岡敦（ 担当： 単著）
共立出版 2022年11月 （ ISBN:9784320114821 ）
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手を動かしてまなぶε-δ論法
藤岡, 敦（ 担当： 単著）
裳華房 2022年8月 （ ISBN:9784785315924 ）
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手を動かしてまなぶ 続・線形代数
藤岡敦（ 担当： 単著）
裳華房 2021年11月 （ ISBN:9784785315917 ）
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入門 情報幾何―統計的モデルをひもとく微分幾何学―
藤岡敦（ 担当： 単著）
共立出版 2021年4月 （ ISBN:9784320114456 ）
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手を動かしてまなぶ 集合と位相
藤岡敦（ 担当： 単著）
裳華房 2020年8月 （ ISBN:9784785315870 ）
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手を動かしてまなぶ 微分積分
藤岡敦（ 担当： 単著）
裳華房 2019年8月 （ ISBN:9784785315818 ）
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具体例から学ぶ 多様体
藤岡敦（ 担当： 単著）
裳華房 2017年3月 （ ISBN:9784785315719 ）
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数学で作るシャボン玉
藤岡敦（ 担当： 単著）
日本評論社・数学セミナー 2016年9月
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手を動かしてまなぶ 線形代数
藤岡敦（ 担当： 単著）
裳華房 2015年11月 （ ISBN:9784785315641 ）
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４次元微分幾何学への招待
藤岡敦（ 担当： 単著）
サイエンス社・数理科学 2015年9月
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よくわかる!基礎数学
藤田, 岳彦, 石村, 直之, 藤岡, 敦, 松田, 秀樹, 今井, 仁司, 石井, 昌宏, 竹内, 慎吾（ 担当： 共著）
実教出版 2012年11月 （ ISBN:9784407325133 ）
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よくわかる微分積分
藤田, 岳彦, 石村, 直之, 藤岡, 敦, 松田, 秀樹, 今井, 仁司, 石井, 昌宏, 竹内, 慎吾（ 担当： 共著）
実教出版 2011年12月 （ ISBN:9784407325119 ）
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よくわかる線形代数
藤田, 岳彦, 石村, 直之, 藤岡, 敦, 松田, 秀樹, 今井, 仁司, 石井, 昌宏, 竹内, 慎吾（ 担当： 共著）
実教出版 2011年12月 （ ISBN:9784407325126 ）
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Primary 大学ノート 基礎数学
藤田, 岳彦, 石村, 直之, 藤岡, 敦（ 担当： 共著）
実教出版 2007年9月 （ ISBN:9784407310801 ）
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Primary 大学ノート 線形代数
藤田, 岳彦, 石村, 直之, 藤岡, 敦（ 担当： 共著）
実教出版 2007年1月 （ ISBN:9784407310818 ）
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Primary 大学ノート 微分積分
藤田, 岳彦, 石村, 直之, 藤岡, 敦（ 担当： 共著）
実教出版 2007年1月 （ ISBN:9784407310825 ）
MISC
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藤岡敦
理工学と技術 : 関西大学理工学会誌 20 1 - 6 2013年11月
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Centroaffine minimal surfaces whose centroaffine curvature and Pick function are constants
Atsushi Fujioka
Journal of Mathematical Analysis and Applications 365 ( 2 ) 694 - 700 2010年5月
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Centroaffine minimal surfaces whose centroaffine curvature and Pick function are constants
Atsushi Fujioka
JOURNAL OF MATHEMATICAL ANALYSIS AND APPLICATIONS 365 ( 2 ) 694 - 700 2010年3月
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Centroaffine Minimal Surfaces with Non-Semisimple Centroaffine Tchebychev Operator
Atsushi Fujioka
RESULTS IN MATHEMATICS 56 ( 1-4 ) 177 - 195 2009年12月
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Geometry of the Space of Closed Curves in the Complex Hyperbola （共著）
Atsushi Fujioka, Takashi Kurose
Kyushu journal of mathematics 63 ( 1 ) 161 - 165 2009年6月
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GEOMETRY OF THE SPACE OF CLOSED CURVES IN THE COMPLEX HYPERBOLA
Atsushi Fujioka, Takashi Kurose
KYUSHU JOURNAL OF MATHEMATICS 63 ( 1 ) 161 - 165 2009年3月
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Centroaffine minimal surfaces with non-semisimple centroaffine Tchebychev operator
Atsushi Fujioka
Results in Mathematics 56 ( 1 ) 177 - 195 2009年1月
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Deformations of surfaces preserving conformal or similarity invariants
Atsushi Fujioka, Jun-Ichi Inoguchi
Progress in Mathematics 252 ( 252 ) 53 - 67 2007年
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Bonnet surfaces in four-dimensional space forms
Atsushi Fujioka
International Journal of Mathematics 15 ( 10 ) 981 - 985 2004年12月
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Bonnet surfaces in four-dimensional space forms
Atsushi Fujioka
International Journal of Mathematics 15 ( 10 ) 981 - 985 2004年
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"Timelike Bonnet surfaces in Lorentzian space forms," （共著）
藤岡 敦(J. Inoguchi
Differential Geometry and its Applications 18 ( 1 ) 103 - 111 2003年1月
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"Timelike Bonnet surfaces in Lorentzian space forms," (jointly worked)
藤岡 敦(J. Inoguchi
Differential Geometry and its Applications 18 ( 1 ) 103 - 111 2003年
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Actions of loop groups on simply connected H-surfaces in space forms
Atsushi Fujioka
Journal of the Mathematical Society of Japan 50 ( 4 ) 819 - 829 1998年
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Actions of loop groups on simply connected H-surfaces in space forms
藤岡 敦
Journal of the Mathematical Society of Japan 50 no.4 819 - 829 1998年
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Harmonic maps and associated maps from simply connected Riemann surfaces into the 3-dimensional space forms
Atsushi Fujioka
Tohoku Mathematical Journal 47 ( 3 ) 431 - 439 1995年
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A generalization of h-surfaces and a certain duality
Atsushi Fujioka
Journal of the Mathematical Society of Japan 47 ( 1 ) 183 - 190 1995年
講演・口頭発表等
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余等質性１の中心アファイン曲面
藤岡敦, 古畑仁
日本数学会２０２０年度年会（開催中止） 2020年3月
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等積中心アファイン閉曲線のなす空間の間の同変射影 招待
藤岡敦
Koriyama Geometry and Physics Days 2020 "Integrable systems, projective invariants, and related topics” 2020年2月
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等積中心アファイン閉曲線のなす空間の間の同変射影
藤岡敦
淡路島幾何学研究集会2020 2020年1月
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Centroaffine surfaces of cohomogeneity one 招待
藤岡敦
The 5th Japan-China Geometry Conference 2019年9月
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回転面とアファイン微分幾何
藤岡敦
量子力学・確率論とその生命科学応用 2019年8月
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余等質性１の中心アファイン曲面 招待
藤岡敦
Workshop on Submanifold theory in a wider sense 2019年8月
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等積中心アファイン平面閉曲線のなす空間と多重 Hamilton 構造
藤岡敦
微分同相群と平面閉曲線のなす空間 2019年2月
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余等質性１の定曲率中心アファイン極小曲面
藤岡敦
淡路島幾何学研究集会2019 2019年1月
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余等質性１の原点を中心とする固有アファイン球面
藤岡敦
淡路島幾何学研究集会2018 2018年1月
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アファイン超曲面の中心写像
藤岡敦
幾何学コロキウム 2017年4月
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Centroaffine surfaces with parallel or recurrent cubic form relative to the induced connection 招待
Atsushi Fujioka
The 2nd OCAMI-KOBE-WASEDA Joint International Workshop on Differential Geometry and Integrable Systems 2017年3月
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中心アファイン曲面の３次形式
藤岡敦
淡路島幾何学研究集会2017 2017年1月
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中心アファイン曲面に対する３次形式の平行性と再帰性 招待
藤岡敦
２０１６年度福岡大学微分幾何研究集会 2016年11月
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Tchebychev 作用素が半単純でない平坦中心アファイン曲面 招待
藤岡敦
非可換幾何学と数理物理学 2015年7月
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射影曲面と余次元２の前正規化された Blaschke はめ込み 招待
藤岡敦
RIMS 共同研究集会 部分多様体論と種々の幾何構造 2015年6月
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射影曲面と余次元２の中心アファインはめ込み
藤岡敦
淡路島幾何学研究集会2015 2015年1月
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射影曲面の持ち上げと簡約定理 招待
藤岡敦
福岡大学微分幾何研究会 2014年11月
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射影極小な中心アファイン極小曲面
藤岡敦
淡路島幾何学研究集会2014 2014年1月
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射影および中心アファイン極小曲面
藤岡敦
大分幾何学セミナー 2013年9月
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中心アファイン極小曲面と射影微分幾何
藤岡敦
幾何セミナー 2013年6月
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等積中心アファイン曲線と多重 Hamilton 構造
藤岡敦
若狭三方幾何学研究集会2013 2013年3月
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Differential geometry of projective or centroaffine surfaces 招待
藤岡敦
ミニワークショップ 統計多様体の幾何学とその周辺 (4) 2013年3月
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Multi-Hamiltonian structures associated with the space of closed equicentroaffine curves 招待
Atsushi Fujioka
Workshop on Curve flows and integrable systems 2012年12月
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等積中心アファイン平面閉曲線のなす空間に付随する多重 Hamilton 構造 招待
藤岡敦
シンプレクティック幾何とその周辺2012 2012年11月
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Centroaffine minimal surfaces 招待
Atsushi Fujioka
第１８回複素幾何シンポジウム 2012年10月
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曲線の射影微分幾何
藤岡敦
OCU48セミナー 2012年5月
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Equivariant projections between spaces of equicentroaffine curves 招待
藤岡敦
Poisson geometry and related topics 23 2023年12月
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等温漸近的な中心アファイン曲面
藤岡敦
Geometry Colloquium 2023年4月
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定曲率中心 affine 極小曲面について
藤岡敦
Tsudoi KK 2022年3月
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Equivariant projections between spaces of closed equicentroaffine curves 招待
Atsushi Fujioka
The 6th China-Japan Geometry Conference 2021年12月
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等積中心アファイン曲線と円周の微分同相群 招待
藤岡敦
RIMS共同研究 部分多様体と関連する幾何構造研究の深化と融合 2021年6月
Works(作品等)
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千里山幾何学研究会
2023年6月
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関大微分幾何研究会
2017年6月
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関大微分幾何研究会
藤岡敦
2016年6月
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関大微分幾何研究会
藤岡敦
2015年6月
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関大微分幾何研究会
藤岡敦
2014年7月
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Workshop on Curve flows and integrable systems
Atsushi Fujioka, Martin Guest
2012年12月
受賞
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平成２７年度特別研究員等審査会専門委員（書面担当）表彰
2016年7月 日本学術振興会
共同研究・競争的資金等の研究課題
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曲線、曲面を巡るアファイン微分幾何と可積分系，射影微分幾何、情報幾何との交わり
研究課題/領域番号：23K03101 2023年4月 - 2027年3月
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
藤岡 敦
配分額：4680000円 （ 直接経費：3600000円 、 間接経費：1080000円 ）
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可積分性にみるアファイン微分幾何と射影微分幾何の共鳴
研究課題/領域番号：26400075 2014年4月 - 2018年3月
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
藤岡 敦
配分額：4940000円 （ 直接経費：3800000円 、 間接経費：1140000円 ）
アファイン球面に展開可能な不定値射影曲面をある種のアインシュタイン条件をみたす余次元２のアファイン空間への持ち上げをもつものとして特徴付けた。３次形式やそのトレースレス部分が誘導接続に関して平行、或いは再帰的な非退化中心アファイン曲面を決定した。中心写像が１点または曲線となる、或いは原点を通る平面の一部となるという幾何学的な条件を満たす非退化中心アファイン線織面を決定した。余等質性１の原点を中心とする固有アファイン球面を特徴付け、中心アファイン計量の曲率が一定となる余等質性１の中心アファイン極小曲面を分類した。
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諸分野に現れるアファインはめ込みの研究
研究課題/領域番号：26400058 2014年4月 - 2018年3月
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
古畑 仁, 藤岡 敦, 長谷川 和泉
配分額：3900000円 （ 直接経費：3000000円 、 間接経費：900000円 ）
３次元射影空間内の曲面は，局所的に４次元ベクトル空間内の中心アファイン極小曲面から構成できることを示した．それがアファイン球面に展開可能な曲面になるための条件を調べた． また，中心写像の像が原点を含む平面内にあるような中心アファイン線織面を決定した．
統計多様体について断面曲率を定義し，正則断面曲率一定の正則統計多様体内のＣＲ統計部分多様体が，ケーラー多様体内のＣＲ部分多様体と類似の性質をもつことをいくつか確認した．また，佐々木多様体や剱持多様体を基礎多様体としてもつ統計構造を定式化し，興味深い例を発見した． -
可積分幾何の展開
研究課題/領域番号：23340012 2011年4月 - 2015年3月
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(B)
宮岡 礼子, 小谷 元子, 西納 武男, 上原 崇人, 松浦 望, 岩崎 克則, 入谷 寛, 梶原 健司, 長友 康行, 野村 隆昭, 山田 光太郎, 石川 剛郎, 梅原 雅顕, ゲスト マーティン, 庄田 敏宏, 二木 昭人, 藤岡 敦, ラスマン ウェイン, 田丸 博士
配分額：13780000円 （ 直接経費：10600000円 、 間接経費：3180000円 ）
主曲率の個数6,重複度2の等径超曲面の等質性を示し，長年の問題を解決した．主曲率の個数4についてスピン作用のモーメント写像による記述を与えた．トランスノーマル系の研究を深めた．
リッチ曲率正のケーラー多様体の非コンパクト完備安定極小ラグランジュ部分多様体上には非自明なL2調和1形式は存在しないことを示し，非放物型エンドは高々１つであり，曲面なら種数が０であることがわかった．
等径超曲面のガウス像のハミルトン変形との交叉に関わるフレアホモロジー論の研究において，主曲率の重複度が２以上の場合にはどんなハミルトン変形によっても，交叉が外せないことを示した（入江博，Hui Ma,大仁田義裕との共同研究）． -
現代的観点による古典的微分幾何の展開とその応用
研究課題/領域番号：22540107 2010年4月 - 2015年3月
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
黒瀬 俊, 陶山 芳彦, 濱田 龍義, 川久保 哲, 松浦 望, 井ノ口 順一, 古畑 仁, 藤岡 敦
配分額：4160000円 （ 直接経費：3200000円 、 間接経費：960000円 ）
さまざまな空間においてその中の曲線や曲面などの性質を調べる古典的微分幾何について、主に可積分系理論などの近年発展してきた解析手法を用いて研究をすすめ、古典的微分幾何とその応用に関する多くの結果を得た。特に、一定の規則に従って時間変化する曲線から可積分系理論の方程式が自然に現れることを利用して、可積分系理論の成果に幾何学的な表現・解釈を与えた。また、古典的微分幾何を応用して、数理統計や情報理論を微分幾何的な道具と手法を用いて研究する際に現れる幾何的対象の性質や構造の一端を明らかにした。
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アファイン微分幾何を核とする部分多様体論、可積分系、変分法の相互作用
研究課題/領域番号：22540070 2010年4月 - 2014年3月
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
藤岡 敦
配分額：4160000円 （ 直接経費：3200000円 、 間接経費：960000円 ）
チェビシェフ作用素が半単純でない平坦中心アファイン曲面について調べ、ピック不変量が一定のものはマイヤーG関数を用いて表される中心アファイン極小曲面であることが分かった。また、原点を中心とする固有アファイン球面の自然な一般化である中心アファイン極小曲面を射影空間内の曲面とみなし、中心アファイン極小曲面としての随伴曲面がすべて射影極小となるものを分類した。
また、複素化された球面内の複素直交網により径数付けられた曲面について調べた。更に、等積中心アファイン平面閉曲線全体のなす空間に可算個の前シンプレクティック構造を導入し、この空間が多重ハミルトン系によって記述されることを示した。 -
幾何学と可積分系理論の融合と発展
研究課題/領域番号：19204006 2007年 - 2010年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(A)
宮岡 礼子, 大仁田 義裕, 小谷 元子, 佐々木 武, 岩崎 克則, 大津 幸男, 梶原 健司, 長友 康行, 中屋敷 厚, 山田 光太郎, 二木 昭人, マーティン ゲスト, ウェイン ラスマン, 庄田 敏宏, 入谷 寛, 石川 剛郎, 梅原 雅顕, 川久保 哲, 田丸 博士, 藤岡 敦, 松浦 望, 西納 武男, 山田 光太郎, 岩崎 克則, 梶原 健司, 中屋敷 厚, 長友 康行
配分額：27560000円 （ 直接経費：21200000円 、 間接経費：6360000円 ）
等径超曲面の分類問題の大部分を解決し,運動量写像で表現することにより,可積分系理論との関連性を根拠づけた.特異点をもつ曲面の基礎理論を進展させ,種々の局所・大域理論を明らかにし,ルジャンドル写像を用いた新しい視点を開発した.リーマン・ヒルベルト対応を介してパンルヴェ方程式の力学系を研究し,カオス性の観点を開拓した.高種数Gromov-Witten理論のモジュラー性,ミラー対称性を論じ,また量子コホモロジーから得られる正則微分をポテンシャルにもつ曲面の構成を通じて,tt*幾何に貢献した.
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幾何学的変分問題の解の安定性と大域的性質に関する研究
研究課題/領域番号：19540217 2007年 - 2009年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
小磯 深幸, 藤岡 敦, 安藤 直也
配分額：4550000円 （ 直接経費：3500000円 、 間接経費：1050000円 ）
曲面上の各点における法線方向に依存するエネルギーの曲面上での総和(積分)を非等方的表面エネルギーと呼ぶ。本研究では、同じ体積を囲む曲面の中での非等方的表面エネルギーの臨界点(以下ではCAMC曲面と呼ぶ)についての研究を行った。まず、平行な二平面上に自由境界をもつCAMC曲面の幾何学的性質とエネルギー極小性について多くの研究成果を得た。また、3次元ユークリッド空間内の種数0のCAMC閉曲面は相似と平行移動を除き一意的であることを証明した。
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可積分系と関わる曲線および曲面
研究課題/領域番号：18540074 2006年 - 2010年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
藤岡 敦
資金種別：競争的資金
平均曲率ベクトルの大きさを保ちながら等長的に変形可能な4次元空間形内の曲面について調べ、3次元空間形内の曲面とは見なされない例を構成した。中心アファイン計量の面積積分の停留曲面として得られる中心アファイン極小曲面について新しい例をみつけた他、自己合同中心写像をもつ中心アファイン曲面についても考察した。曲率が可積分系に現れる微分方程式に従う曲線の運動のハミルトン系としての特徴付けについて調べた
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幾何学的変分問題の解の大域的性質に関する研究
研究課題/領域番号：16540195 2004年 - 2006年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
小磯 深幸, 芥川 玲子, 藤岡 敦
配分額：2900000円 （ 直接経費：2900000円 ）
1.3次元ユークリッド空間内にはめ込まれた曲面に対する非等方的表面エネルギーの臨界点(非等方的平均曲率一定曲面.以下,CAMC曲面と略記する)について研究した.特に,非等方的表面エネルギーが回転対称であって「凸性条件」を満たす場合については次の結果を得た.
(1)埋め込まれた閉CAMC曲面は,(平行移動と相似を除き)ウルフ図形であることを証明した.
(2)平行な二平面上に自由境界を持つ曲面であって,体積一定の条件のもとでの非等方的表面エネルギーと濡れエネルギーの和の臨界点となっているようなものについて研究し,次の成果を得た.
(2-1)ウルフ図形の任意の部分は対応する変分問題のエネルギー最小解を与えることを証明した.
(2-2)濡れエネルギー係数が非負である場合について,安定解の存在と一意性,幾何学的性質を決定した.
(2-3)濡れエネルギー係数が負である場合については,CAMC曲面の安定性の判定及び安定解の存在と一意性についてのいくつかの判定条件を得た.さらに,いくつかの具体例についての数値計算により未解決な場合についての結果の予想をたてた.
2.一般に,CAMC曲面の具体例の構成は,回転対称なものと平均曲率一定曲面を除き,困難である.本研究において,ある種の対称性を持つが回転対称ではないCAMC曲面の構成法を得た.これは,CAMC曲面についての理論を,結晶学,数理生物学を始めとする自然科学のさまざまな分野へ応用するという観点からも重要であると思われる.
3.平面曲線の輪転曲線としての特徴付けについての新しい方法を得,平均曲率一定回転面に関する古典的なDelaunayの定理を一般化した.さらに,それを用いてCAMC回転面を特徴付けた. -
曲面の微分幾何と可積分な微分方程式
研究課題/領域番号：14740038 2002年 - 2004年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 若手研究(B)
藤岡 敦
配分額：2400000円 （ 直接経費：2400000円 ）
「第一基本形式と平均曲率では決まらない曲面を分類せよ」というBonnetによる問題は長い歴史をもつが、4次元空間形内における同様の考察は今まで殆どなされていない。そこで4次元空間形内の曲面で臍点のないものを考え、平均曲率ベクトルの長さを保ちながら局所的に等長的に変形できるものを3次元空間形内の場合に倣ってBonnet曲面とよぶことにすると、これは極小曲面や更に一般に平行な平均曲率ベクトルをもつ曲面を例として含むスペクトル径数をもつ曲面である。4次元空間形内のBonnet曲面のスペクトル径数は一般には2次特殊ユニタリ群に値をとるが、上の2つの例のように本質的に円周に値をとる場合を考え、このようなものを単純であるということにする。このとき、法ベクトル束が平坦な単純Bonnet曲面は全測地的または全臍的3次元空間形内のBonnet曲面であることが分かった。これは極小でない平行な平均曲率ベクトルをもつ曲面に対するChen-Yauの簡約定理の一般化とみなせる。Bonnet曲面のように点に依存するスペクトル径数をもつ曲面として他に調和逆平均曲率曲面とよばれる曲面が知られているが、Euclid空間内で考えるとこれらのもつ幾何的不変量の中に相似変換で不変なものが見い出される。そこで相似幾何的観点から両者を統一的に扱い、特徴的性質をもつものを分類した。また、共形幾何的観点からWillmore曲面がSchwarz微分を保つ変形をもつ曲面として特徴付けられることを示した。調和逆平均曲率曲面と同様な性質をもつ曲面としてEuclid空間内ではBianchi曲面とよばれる曲面が知られていたが、これは空間形内の場合にも自然に定義できることが分かった。更に調和逆平均曲率曲面の場合に知られていた、はめ込みをあたえる公式、曲面間の対応、特徴的な性質をもつものについて調べた。
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平均曲率一定曲面の変形と安定性の研究への関数解析的アプローチ
研究課題/領域番号：13640211 2001年 - 2003年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
小磯 深幸, 藤岡 敦, 芥川 玲子, 宮岡 礼子
配分額：3200000円 （ 直接経費：3200000円 ）
1.3次元ユークリッド空間内の,「体積一定」という条件のもとでの,「表面積+重力エネルギー」の変分問題の解(の表面)は,平均曲率が高さの一次関数であるような曲面となる.はめ込まれた曲面であって,平均曲率が高さの一次関数であるようなものについて,その幾何学的性質と安定性に関する多くの結果を得た.
2.重力を無視できないような薄膜に関する変分問題を提唱し,部分的に自由境界をもつ特別な場合について,すべての解を求め,さらにそれらの安定性・不安定性を完全に決定した.
3.3次元ユークリッド空間内の非等方的平均曲率一定曲面の幾何学的性質と安定性について,下記の結果を得た.ただしここで,「非等方的平均曲率定曲面(以下ではCAMC曲面と呼ぶことにする)」とは,体積一定なる条件のもとでの非等方的表面エネルギーの臨界点を与える曲面であり,平均曲率一定曲面の一般化になっている.
(1)非等方的表面エネルギーの第2変分公式を導き,CAMC曲面に対する安定性の概念を定式化した.
(2)CAMC曲面のガウス写像が(ある種の)エネルギー最小性を持つことを示した.
(3)完備で安定なCAMC曲面に関する一意性定理を得た.
(4)回転対称なCAMC曲面について,表現公式を求め,幾何学的性質及び安定性を解析した.
(5)CAMC曲面のガウス写像の除外値について研究し,ガウス曲率のL^1評価,一意性定理,安定であるための十分条件等に関する結果を得た. -
曲面の微分幾何への可積分系理論的アプローチ
研究課題/領域番号：12740037 2000年 - 2001年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 奨励研究(A)
藤岡 敦
配分額：1400000円 （ 直接経費：1400000円 ）
これまでの研究から続くような形で,可積分系理論的なアプローチから曲面の微分幾何についての研究を行った.3次元Euclid空間内の平均曲率一定曲面は,平均曲率が0でない場合,古くから可積分系理論の分野で知られているsine-Gordon方程式として記述される.平均曲率一定曲面の自然な一般化としてBonnet曲面(局所的に非自明に等長的に変形できる曲面)や調和逆平均曲率曲面(平均曲率の逆数が調和関数となる曲面)とよばれるものが定義される.特に,調和逆平均曲率曲面は,1994年にBobenkoによって3次元Euclid空間内の曲面の場合に定義された比較的新しい曲面族であり,Fokas-Gelfandによる特徴付けを経て,一般の3次元空間形内の曲面の場合に筆者により定義された.これらの曲面族は曲率線に沿った等温座標系が取れるとき,Christoffel変換とよばれる曲面の変換により互いに移り合うことが知られていた.今年度では,調和逆平均曲率曲面が曲率を用いて、表されるある量(3次元Euclid空間内の曲面の場合は主曲率の比)を保つような共形的変形をもつことに注目し,逆に調和逆平均曲率曲面をこのような量を保つ曲面の変換を許容するものとして特徴付けた.これは接線叢にある条件を加えた曲面同士の間の変換が存在するならばそれぞれの曲面のGauss曲率は負定数であるというBacklundの定理を想起させるが,調和逆平均曲率曲面に対してもより具体的に幾何的な特徴付けがされ得ることが期待できる.
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多様体のホモトピー論的研究
研究課題/領域番号：11640069 1999年 - 2001年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
石本 浩康, 泊 昌孝, 森下 昌紀, 菅野 孝史, 岩瀬 順一, 藤岡 敦
配分額：2000000円 （ 直接経費：2000000円 ）
(1)石本は、m次元球面に何個かのq-ハンドルを付けて得られる初等多様体に対して、ポアンカレ予想に相当するものが安定域において成立するかどうかを研究した。その為にJames-Whiteheadの定理を初等多様体へ拡張することを考え、初等多様体のホモトピー型を特徴づける双一次形式が巡回群に値をとる場合について、James-Whiteheadの定理の拡張に成功した。そして、既に得ていた結果に加え、最初の難関である巡回群がZ^<24>の場合について、ポアンカレ予想に相当するものが、やはり成立することを、ほぼ証明することができた。
(2)藤岡は、平均曲率一定曲面の自然な一般化である調和逆平均曲率曲面と呼ばれるものの基本的性質について調べた。特に、曲率を用いて表されるある量を保つ変換を許容するものとして、そのような曲面を特徴づけた。また、それらと深い関係にある定曲率ボンネ曲面などについて調べた。
(3)泊は、filtered ringの重複度理論を研究し、応用として、超曲面孤立特異点を定義するfのミルナー数に関して、座標に与えられた重みと、それによるテイラー展開の言葉による評価式を与えた。そして、等号成立によって、fがsemi-quasihomogeneous関数になるという判定基準を与えた。
(4)森下は、絡み目群とガロア群の類似に基づき、素数と結び目、代数体と3次元多様体の間の類似について研究を進め、代数的整数論と3次元トポロジーの間の類似を研究した。また、村杉邦男氏(カナダ、トロント大)と共同研究を行い、いくつかの結果を得た。
(5)菅野は、3次ユニタリー群上の正則保型形式の数論的研究において、Eisenstein級数及び:Kudla lift imageに対し、primitive theta関数による展開を明示的に求め、Kudla liftが消えないための条件を周期等の言葉で記述した。 -
保型形式・保型L関数・新谷関数の研究
研究課題/領域番号：11440005 1999年 - 2001年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(B)
菅野 孝史, 藤岡 敦, 森下 昌紀, 伊藤 達郎, 村瀬 篤, 早川 貴之, 山田 美枝子
配分額：8300000円 （ 直接経費：8300000円 ）
1.新谷関数(村瀬篤氏,加藤信一氏との共同研究)
分解型直交群のWhittaker-Shintani関数の明示公式の論文を完成した.一部は当研究開始以前に得られていたが,より包括的・統一的な結果となった.
2.3次ユニタリ群上の保型形式(村瀬篤氏との共同研究)
(1)原始的テータ関数による正則Eisenstein級数の展開を与え,その展開係数の代数性を示した.
(2)U(1,1)からU(2,1)へのKudla liftについて,原始的テータ関数による展開を求めた.また,Hecke作用素との両立性についての別証を与えた.
3.保型形式の構成
(1)Kudla liftをJacobi形式からSO(2,4)へのOda liftのSU(2,1)への制限として捉えることにより,数多く具体例を(Taylor展開の形で)与えた.今後,3次ユニタリ群の保型形式環の構造決定に役立つと思われる.
(2)定値直交群O(n)上の保型形式から作られるO(n+1,1)上のEisenstein級数のFourier展開を求める研究を開始した.非定数項の新谷関数よる記述を考察し,小さなnについては決定した. -
共形不変形を持つ幾何学的変分問題の可積分系による解法について
研究課題/領域番号：10640065 1998年 - 2000年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
落合 卓四郎, 藤岡 敦, 今野 宏
配分額：3100000円 （ 直接経費：3100000円 ）
研究代表者の落合は、3次元ユークッリド空間内の閉じた曲面が共形不変性を持つ幾何学的変分問題(平成10年度に研究)の解であり、かつ群の作用を許す場合の研究を常微分方程式の分岐理論の立場から研究した。結果として、球面から変形してゆき、分岐する例を構成できた。
研究分担者の今野は、今年度は非可換群による超ケーラー商の研究を始めた。手始めとして、最も単純と思われる具体例を考察した。すなわち、複素直線の余接空間には、超ケーラー構造が入ることが知られているが、その直積のSO(3)による超ケーラー商のコホモロジー環を決定した。この空間は、複素直線の直積のSO(3)によるシンプレクテイック商(多角形のモジュライ空間とよばれる。)を半分次元の部分多様体として含んでいるが、可換群の場合と同様に、コホモロジー環は、超ケーラー商の方がより単純であった。さらに多角形のモジュライ空間はあるパラメータをもっていて、そのパラメータに応じてトポロジーが変化するが、超ケーラー商の部分空間として見ると、その変化の様子が大域的に記述される
研究分担者の藤岡はこれまでの研究から続くような形で,可積分系理論的なアプローチから曲面の微分幾何についての研究を行った.ユークリッド空間内の平均曲率一定曲面(CMC surfaceと略す)は,平均曲率が0でない場合,古くから可積分系理論の分野で知られているsine-Gordon方程式として記述される.ユークリッド空間内のCMC surfaceの自然な一般化としてBonnet曲面(局所的に非自明に等長的に変形できる曲面)やharmonic inverse mean curvature surface(平均曲率の逆数が調和関数となる曲面,以下,HIMC surfaceと略す)とよばれるものが定義される.これらの曲面族は曲率線に沿った等温座標系がとれる,isothermicとよばれる条件の下で,Hazzidakis方程式とよばれる常微分方程式によって記述されるが,この方程式は可積分系理論の分野で良く知られているPainleve方程式として記述されることが最近になってBobenko-Eitnerにより示された.Bonnet曲面やHIMC surfaceは定値計量とは限らない3次元空間形内の曲面に対しても定義される.そこで,不定値計量をもつ3次元空間形内の時間的なHIMC曲面について考察し,それに対するLax方程式やその解から曲面をあたえる公式である,immersion formulaを求めるといった,定値計量をもつ空間形内のHIMC surfaceと同様の性質について調べる他,時間的な曲面特有の現象についても調べた. -
可積分系の観点からみた平均曲率一定曲面の一般化
研究課題/領域番号：10740028 1998年 - 1999年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 奨励研究(A)
藤岡 敦
配分額：1400000円 （ 直接経費：1400000円 ）
以前からの研究に引き続き、可積分系の観点からみた平均曲率一定曲面(CMCsurfaceと略す)の一般化について考察した.特に,不定値計量をもつ3次元空間形内の平均曲率を保ったまま,局所的に非自明,等長的に変形できる滑らかな曲面で,臍点をもたず計量が不定値であるもの(時間的Bonnet曲面とよばれる)について調べた.(時間的なCMCsurfaceで臍点をもたないものは時間的Bonnet曲面の例を与える.)このような曲面は大まかに分けて,局所的に,特定の曲率,及び,捩率をもつB-scrollとよばれるものと一対一に対応するか,または,generalized Hazzidakis equationとよばれる3階の常微分方程式に還元できるものであることが分かった.前者は時間的な曲面特有のものである.また,上述とは異なるCMCsurfaceの一般化としてユークリッド空間形内の曲面についてharmonic inverse mean curvature surface(HIMCsurfaceと略す)とよばれるものが定義されるのと同様に,不定値計量をもつ3次元空間形内の空間的なHIMC surfaceとよばれるものが定義されるが,このような局面でisothermicなものは上述のようにgeneralized Hazzidakis equationを解くことに帰着される.特にisothermicな曲面の例である回転面について考えると,軸が光的の場合は初等的に解ける解を与えることが分かった.この現象はユークリッド空間形内のHIMCsurfaceの場合には現れないものである.以上の結果については,現在,福岡大学の井ノ口順一氏と共著で投稿中である.
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多様体の幾何構造と大域解析
研究課題/領域番号：09440034 1997年 - 1999年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(B)
小林 治, 藤岡 敦, 北原 晴夫, 児玉 秋雄, 加藤 信, 片桐 民陽, 石本 浩康, 山下 靖, 小林 毅, 落合 豊行
配分額：9200000円 （ 直接経費：9200000円 ）
多様態の幾何構造は多くの種類があるが,我々が取り上げるのは主に共形幾何と関係の深いものである.以下に得られた結果の一部を述べる.
1.スカラー曲率方程式.これはリーマン計量の共形変換でスカラー曲率がどのように変換されるかを記述する方程式である.コンパクトでない多様体上でこの方程式の組織的な解析を行い,与えられたスカラー曲率をもつ完備な共形計量の空間について諸結果を得た.
2.ワイル構造.これは共形類が与えられているとき,この共形類を保ち捩率が0であるようなアファイン接続のことである.リッチ曲率がワイル構造の完全不変量であることが示された.またコンパクト共形平坦アインシュタイン-ワイル空間の分類を得た.
3.メビウス幾何.与えられた位相型をもつ球面上の正則閉曲線の最小頂点数を自己交点数が5以下の曲線に対して完全に求めた.また正則曲線に対するシュワルツ微分を新たに導入した.これによってネハリの単葉性定理およびその拡張に対して新たな証明を与えた.この議論の要点のひとつは曲線のおかれている多様体の共形構造からその曲線に積分可能な射影構造が導かれることにある.メビウス空間の曲線に対して,この曲線の射影構造から定まる射影展開写像の単射性から,この曲線のはめこみ写像の単射性が得られることを示した. -
代数群上の保型形式とL関数
研究課題/領域番号：09640040 1997年 - 1998年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
菅野 孝史, 藤岡 敦, 早川 貴之, 森下 昌紀, 山田 美枝子, 伊藤 達郎, 岩瀬 順一
配分額：3100000円 （ 直接経費：3100000円 ）
1. ユニタリ群の保型L関数について(村瀬駕氏との共同研究)
一般符号のユニタリ群上の正則尖点形式に付随する標準的L関数について、その解析接続・関数等式を証明した。証明の鍵は、新谷関数とその積分の研究である。技術的条件下では既に我々自身によって得られていたが、局所・大域の両面に渡る議論の精密化により、この条件を取り除くことに成功した。
2. 3次ユニタリ群上の保型形式とテータ関数について(村瀬篤氏との共同研究)
3次ユニタリ群上の正則保型形式の数論的研究においては、新谷卓郎氏により導入された「原始的テータ関数」が重要な役割を果たす。テータ関数の空間を純局所的に定式化し、Weil表現のlattice model及びtrace formulaを用いて詳しく考察した。原始的テータ関数の空間に現れる、二次拡大の乗法群の指標を完全に決定し、epsilon factorを用いて記述した。また、大域的保型形式への応用として、正則Eisenstein級数の、原始的テータ関数での展開係数を決定した(L関数の特殊値により記述される)。
3. theta lift・Jacobi型群(村瀬篤氏との共同研究)
楕円保型形式から3次ユニタリ群上の保型形式Kudla liftは、直交群0(2,4)へのOda liftの制限と完全に一致し、従ってJacobi形式からのliftと見なされる。この立場から、具体的なJacobi形式の像を考察。また、前項で述べた正則Eisenstein級数の展開を、Jacobi型群上の新谷関数の言葉を用いた解釈を与えた。
社会貢献活動
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科学研究費委員会専門委員
2017年12月 - 2020年11月
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JP Journal of Geometry and Topology Editor
2016年5月
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Zentralblatt MATH Reviewer
2016年
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特別研究員等審査会専門委員（書面担当）
2014年8月 - 2016年7月
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Mathematical Reviews Reviewer
2014年
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科学研究費委員会専門委員
2013年12月 - 2014年11月
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日本数学会 地方区代議員
2013年3月 - 2014年2月
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日本数学会 幾何学分科会拡大幹事
2010年10月
教育内容・方法の工夫（授業評価等を含む）
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講義を主とする授業では、それまでに学んでんきたこと、あるいはこれから学ぶであろうことと関連付けながから講義を進めたほか、授業の後半では簡単な演習問題を出題し、その時間に扱った内容の確認をさせるとともに、学び合いの場も提供し、その結果を成績へ反映させた。
作成した教科書、教材、参考書
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講義内容に関する資料をWeb上へ公開した。
教育方法・教育実践に関する発表、講演等
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特になし。
その他教育活動上特記すべき事項
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特になし。